Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28375 / 4856
↖ ↑ ↗
← N 77.485088°
E131.737060°		 ← 264.72 m → N 77.485088°
E131.748047°		 →
↑
264.78 m
↓
↑
264.78 m
↓
N 77.482707°
E131.737060°		 ← 264.77 m →
70 099 m²		 N 77.482707°
E131.748047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865951538085938 y=0.148208618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865951538085938 × 215)
    floor (0.865951538085938 × 32768)
    floor (28375.5)     		tx = 28375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148208618164062 × 215)
    floor (0.148208618164062 × 32768)
    floor (4856.5)     		ty = 4856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28375 / 4856 ti = "15/28375/4856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28375/4856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28375 ÷ 215
    28375 ÷ 32768     		x = 0.865936279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4856 ÷ 215
    4856 ÷ 32768     		y = 0.148193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865936279296875 × 2 - 1) × π
    0.73187255859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.29924545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148193359375 × 2 - 1) × π
    0.70361328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21046631528003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29924545} λ = 2.29924545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21046631528003))-π/2
    2×atan(9.11996818214286)-π/2
    2×1.46158311756451-π/2
    2.92316623512901-1.57079632675     		φ = 1.35236991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29924545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.737060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35236991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.485088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28375 KachelY 4856 2.29924545 1.35236991 131.737060 77.485088
    Oben rechts KachelX + 1 28376 KachelY 4856 2.29943720 1.35236991 131.748047 77.485088
    Unten links KachelX 28375 KachelY + 1 4857 2.29924545 1.35232835 131.737060 77.482707
    Unten rechts KachelX + 1 28376 KachelY + 1 4857 2.29943720 1.35232835 131.748047 77.482707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35236991-1.35232835) × R
    4.1559999999885e-05 × 6371000     		dl = 264.778759999267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35236991-1.35232835) × R
    4.1559999999885e-05 × 6371000     		dr = 264.778759999267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29924545-2.29943720) × cos(1.35236991) × R
    0.000191749999999935 × 0.216693697692332 × 6371000     		do = 264.721526328497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29924545-2.29943720) × cos(1.35232835) × R
    0.000191749999999935 × 0.21673427002476 × 6371000     		du = 264.771091082256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35236991)-sin(1.35232835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216693697692332-0.21673427002476)×R²
    abs(2.29943720-2.29924545)×4.05723324283513e-05×R²
    0.000191749999999935×4.05723324283513e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.05723324283513e-05×40589641000000     		ar = 70099.1993439611m²