Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28374 / 4855
↖ ↑ ↗
← N 77.487468°
E131.726074°		 ← 264.66 m → N 77.487468°
E131.737060°		 →
↑
264.65 m
↓
↑
264.65 m
↓
N 77.485088°
E131.726074°		 ← 264.71 m →
70 049 m²		 N 77.485088°
E131.737060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865921020507812 y=0.148178100585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865921020507812 × 215)
    floor (0.865921020507812 × 32768)
    floor (28374.5)     		tx = 28374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148178100585938 × 215)
    floor (0.148178100585938 × 32768)
    floor (4855.5)     		ty = 4855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28374 / 4855 ti = "15/28374/4855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28374/4855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28374 ÷ 215
    28374 ÷ 32768     		x = 0.86590576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4855 ÷ 215
    4855 ÷ 32768     		y = 0.148162841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86590576171875 × 2 - 1) × π
    0.7318115234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.29905371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148162841796875 × 2 - 1) × π
    0.70367431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21065806287851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29905371} λ = 2.29905371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21065806287851))-π/2
    2×atan(9.1217170818083)-π/2
    2×1.46160389086837-π/2
    2.92320778173674-1.57079632675     		φ = 1.35241145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29905371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.726074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35241145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.487468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28374 KachelY 4855 2.29905371 1.35241145 131.726074 77.487468
    Oben rechts KachelX + 1 28375 KachelY 4855 2.29924545 1.35241145 131.737060 77.487468
    Unten links KachelX 28374 KachelY + 1 4856 2.29905371 1.35236991 131.726074 77.485088
    Unten rechts KachelX + 1 28375 KachelY + 1 4856 2.29924545 1.35236991 131.737060 77.485088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35241145-1.35236991) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dl = 264.651340000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35241145-1.35236991) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dr = 264.651340000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29905371-2.29924545) × cos(1.35241145) × R
    0.000191739999999996 × 0.216653144510596 × 6371000     		do = 264.658181998223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29905371-2.29924545) × cos(1.35236991) × R
    0.000191739999999996 × 0.216693697692332 × 6371000     		du = 264.707720773101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35241145)-sin(1.35236991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216653144510596-0.216693697692332)×R²
    abs(2.29924545-2.29905371)×4.05531817361526e-05×R²
    0.000191739999999996×4.05531817361526e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.05531817361526e-05×40589641000000     		ar = 70048.6977694149m²