Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28374 / 14994
↖ ↑ ↗
← N 69.376443°
W 24.136963°		 ← 215.14 m → N 69.376443°
W 24.131470°		 →
↑
215.15 m
↓
↑
215.15 m
↓
N 69.374508°
W 24.136963°		 ← 215.15 m →
46 288 m²		 N 69.374508°
W 24.131470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432960510253906 y=0.228797912597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432960510253906 × 216)
    floor (0.432960510253906 × 65536)
    floor (28374.5)     		tx = 28374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228797912597656 × 216)
    floor (0.228797912597656 × 65536)
    floor (14994.5)     		ty = 14994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28374 / 14994 ti = "16/28374/14994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28374/14994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28374 ÷ 216
    28374 ÷ 65536     		x = 0.432952880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14994 ÷ 216
    14994 ÷ 65536     		y = 0.228790283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432952880859375 × 2 - 1) × π
    -0.13409423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42126947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228790283203125 × 2 - 1) × π
    0.54241943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70406090769376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42126947} λ = -0.42126947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70406090769376))-π/2
    2×atan(5.49622178331905)-π/2
    2×1.39082184361937-π/2
    2.78164368723873-1.57079632675     		φ = 1.21084736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42126947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.136963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21084736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.376443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28374 KachelY 14994 -0.42126947 1.21084736 -24.136963 69.376443
    Oben rechts KachelX + 1 28375 KachelY 14994 -0.42117360 1.21084736 -24.131470 69.376443
    Unten links KachelX 28374 KachelY + 1 14995 -0.42126947 1.21081359 -24.136963 69.374508
    Unten rechts KachelX + 1 28375 KachelY + 1 14995 -0.42117360 1.21081359 -24.131470 69.374508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21084736-1.21081359) × R
    3.3769999999933e-05 × 6371000     		dl = 215.148669999573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21084736-1.21081359) × R
    3.3769999999933e-05 × 6371000     		dr = 215.148669999573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42126947--0.42117360) × cos(1.21084736) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352226471001823 × 6371000     		do = 215.135620758168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42126947--0.42117360) × cos(1.21081359) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352258076643776 × 6371000     		du = 215.154925097736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21084736)-sin(1.21081359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352226471001823-0.352258076643776)×R²
    abs(-0.42117360--0.42126947)×3.16056419529254e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16056419529254e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16056419529254e-05×40589641000000     		ar = 46288.2193318289m²