Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28372 / 22356
↖ ↑ ↗
← N 49.539469°
W 24.147949°		 ← 396.35 m → N 49.539469°
W 24.142456°		 →
↑
396.34 m
↓
↑
396.34 m
↓
N 49.535904°
W 24.147949°		 ← 396.38 m →
157 097 m²		 N 49.535904°
W 24.142456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432929992675781 y=0.341133117675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432929992675781 × 216)
    floor (0.432929992675781 × 65536)
    floor (28372.5)     		tx = 28372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341133117675781 × 216)
    floor (0.341133117675781 × 65536)
    floor (22356.5)     		ty = 22356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28372 / 22356 ti = "16/28372/22356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28372/22356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28372 ÷ 216
    28372 ÷ 65536     		x = 0.43292236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22356 ÷ 216
    22356 ÷ 65536     		y = 0.34112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43292236328125 × 2 - 1) × π
    -0.1341552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42146122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34112548828125 × 2 - 1) × π
    0.3177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.998237997688049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42146122} λ = -0.42146122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.998237997688049))-π/2
    2×atan(2.71349642677527)-π/2
    2×1.21771158532727-π/2
    2.43542317065454-1.57079632675     		φ = 0.86462684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42146122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.147949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86462684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.539469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28372 KachelY 22356 -0.42146122 0.86462684 -24.147949 49.539469
    Oben rechts KachelX + 1 28373 KachelY 22356 -0.42136535 0.86462684 -24.142456 49.539469
    Unten links KachelX 28372 KachelY + 1 22357 -0.42146122 0.86456463 -24.147949 49.535904
    Unten rechts KachelX + 1 28373 KachelY + 1 22357 -0.42136535 0.86456463 -24.142456 49.535904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86462684-0.86456463) × R
    6.22100000000625e-05 × 6371000     		dl = 396.339910000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86462684-0.86456463) × R
    6.22100000000625e-05 × 6371000     		dr = 396.339910000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42146122--0.42136535) × cos(0.86462684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648924080827522 × 6371000     		do = 396.354892227933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42146122--0.42136535) × cos(0.86456463) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648971412247135 × 6371000     		du = 396.38380168017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86462684)-sin(0.86456463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648924080827522-0.648971412247135)×R²
    abs(-0.42136535--0.42146122)×4.73314196127728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73314196127728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73314196127728e-05×40589641000000     		ar = 157096.991349095m²