Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28371 / 42003
↖ ↑ ↗
← S 45.162674°
W 24.153443°		 ← 430.71 m → S 45.162674°
W 24.147949°		 →
↑
430.68 m
↓
↑
430.68 m
↓
S 45.166547°
W 24.153443°		 ← 430.68 m →
185 491 m²		 S 45.166547°
W 24.147949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432914733886719 y=0.640922546386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432914733886719 × 216)
    floor (0.432914733886719 × 65536)
    floor (28371.5)     		tx = 28371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640922546386719 × 216)
    floor (0.640922546386719 × 65536)
    floor (42003.5)     		ty = 42003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28371 / 42003 ti = "16/28371/42003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28371/42003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28371 ÷ 216
    28371 ÷ 65536     		x = 0.432907104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42003 ÷ 216
    42003 ÷ 65536     		y = 0.640914916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432907104492188 × 2 - 1) × π
    -0.134185791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42155710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640914916992188 × 2 - 1) × π
    -0.281829833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.885394535982437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42155710} λ = -0.42155710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885394535982437))-π/2
    2×atan(0.412551374804269)-π/2
    2×0.391279482557874-π/2
    0.782558965115748-1.57079632675     		φ = -0.78823736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42155710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.153443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78823736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.162674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28371 KachelY 42003 -0.42155710 -0.78823736 -24.153443 -45.162674
    Oben rechts KachelX + 1 28372 KachelY 42003 -0.42146122 -0.78823736 -24.147949 -45.162674
    Unten links KachelX 28371 KachelY + 1 42004 -0.42155710 -0.78830496 -24.153443 -45.166547
    Unten rechts KachelX + 1 28372 KachelY + 1 42004 -0.42146122 -0.78830496 -24.147949 -45.166547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78823736--0.78830496) × R
    6.76000000000565e-05 × 6371000     		dl = 430.67960000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78823736--0.78830496) × R
    6.76000000000565e-05 × 6371000     		dr = 430.67960000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42155710--0.42146122) × cos(-0.78823736) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.705096318707832 × 6371000     		do = 430.709129825198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42155710--0.42146122) × cos(-0.78830496) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.705048381156457 × 6371000     		du = 430.679847100993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78823736)-sin(-0.78830496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705096318707832-0.705048381156457)×R²
    abs(-0.42146122--0.42155710)×4.79375513751101e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79375513751101e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79375513751101e-05×40589641000000     		ar = 185491.330084057m²