Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28370 / 4669
↖ ↑ ↗
← N 77.922567°
E131.682129°		 ← 255.59 m → N 77.922567°
E131.693115°		 →
↑
255.67 m
↓
↑
255.67 m
↓
N 77.920268°
E131.682129°		 ← 255.64 m →
65 354 m²		 N 77.920268°
E131.693115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865798950195312 y=0.142501831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865798950195312 × 215)
    floor (0.865798950195312 × 32768)
    floor (28370.5)     		tx = 28370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142501831054688 × 215)
    floor (0.142501831054688 × 32768)
    floor (4669.5)     		ty = 4669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28370 / 4669 ti = "15/28370/4669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28370/4669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28370 ÷ 215
    28370 ÷ 32768     		x = 0.86578369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4669 ÷ 215
    4669 ÷ 32768     		y = 0.142486572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86578369140625 × 2 - 1) × π
    0.7315673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.29828672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142486572265625 × 2 - 1) × π
    0.71502685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24632311619583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29828672} λ = 2.29828672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24632311619583))-π/2
    2×atan(9.45291459019203)-π/2
    2×1.46540084168338-π/2
    2.93080168336676-1.57079632675     		φ = 1.36000536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29828672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.682129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36000536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.922567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28370 KachelY 4669 2.29828672 1.36000536 131.682129 77.922567
    Oben rechts KachelX + 1 28371 KachelY 4669 2.29847846 1.36000536 131.693115 77.922567
    Unten links KachelX 28370 KachelY + 1 4670 2.29828672 1.35996523 131.682129 77.920268
    Unten rechts KachelX + 1 28371 KachelY + 1 4670 2.29847846 1.35996523 131.693115 77.920268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36000536-1.35996523) × R
    4.01299999999161e-05 × 6371000     		dl = 255.668229999465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36000536-1.35996523) × R
    4.01299999999161e-05 × 6371000     		dr = 255.668229999465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29828672-2.29847846) × cos(1.36000536) × R
    0.000191739999999996 × 0.209233424534145 × 6371000     		do = 255.594433561341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29828672-2.29847846) × cos(1.35996523) × R
    0.000191739999999996 × 0.209272666117159 × 6371000     		du = 255.642370119303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36000536)-sin(1.35996523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209233424534145-0.209272666117159)×R²
    abs(2.29847846-2.29828672)×3.92415830146042e-05×R²
    0.000191739999999996×3.92415830146042e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.92415830146042e-05×40589641000000     		ar = 65353.5043625947m²