Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2837 / 5934
↖ ↑ ↗
← S 62.552857°
W 55.327149°		 ← 2 252.33 m → S 62.552857°
W 55.283203°		 →
↑
2 251.58 m
↓
↑
2 251.58 m
↓
S 62.573106°
W 55.327149°		 ← 2 250.80 m →
5 069 569 m²		 S 62.573106°
W 55.283203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34637451171875 y=0.72442626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34637451171875 × 213)
    floor (0.34637451171875 × 8192)
    floor (2837.5)     		tx = 2837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72442626953125 × 213)
    floor (0.72442626953125 × 8192)
    floor (5934.5)     		ty = 5934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2837 / 5934 ti = "13/2837/5934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2837/5934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2837 ÷ 213
    2837 ÷ 8192     		x = 0.3463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5934 ÷ 213
    5934 ÷ 8192     		y = 0.724365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.307373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96564091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724365234375 × 2 - 1) × π
    -0.44873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40972834402661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96564091} λ = -0.96564091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40972834402661))-π/2
    2×atan(0.244209615144001)-π/2
    2×0.239521508178663-π/2
    0.479043016357325-1.57079632675     		φ = -1.09175331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96564091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.327149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09175331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.552857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2837 KachelY 5934 -0.96564091 -1.09175331 -55.327149 -62.552857
    Oben rechts KachelX + 1 2838 KachelY 5934 -0.96487392 -1.09175331 -55.283203 -62.552857
    Unten links KachelX 2837 KachelY + 1 5935 -0.96564091 -1.09210672 -55.327149 -62.573106
    Unten rechts KachelX + 1 2838 KachelY + 1 5935 -0.96487392 -1.09210672 -55.283203 -62.573106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09175331--1.09210672) × R
    0.000353409999999998 × 6371000     		dl = 2251.57510999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09175331--1.09210672) × R
    0.000353409999999998 × 6371000     		dr = 2251.57510999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96564091--0.96487392) × cos(-1.09175331) × R
    0.000766989999999912 × 0.460930124974375 × 6371000     		do = 2252.33196284588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96564091--0.96487392) × cos(-1.09210672) × R
    0.000766989999999912 × 0.460616467286889 × 6371000     		du = 2250.79927666063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09175331)-sin(-1.09210672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460930124974375-0.460616467286889)×R²
    abs(-0.96487392--0.96564091)×0.000313657687485147×R²
    0.000766989999999912×0.000313657687485147×6371000²
    0.000766989999999912×0.000313657687485147×40589641000000     		ar = 5069569.16073397m²