Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28369 / 4670
↖ ↑ ↗
← N 77.920268°
E131.671143°		 ← 255.66 m → N 77.920268°
E131.682129°		 →
↑
255.67 m
↓
↑
255.67 m
↓
N 77.917969°
E131.671143°		 ← 255.70 m →
65 369 m²		 N 77.917969°
E131.682129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865768432617188 y=0.142532348632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865768432617188 × 215)
    floor (0.865768432617188 × 32768)
    floor (28369.5)     		tx = 28369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142532348632812 × 215)
    floor (0.142532348632812 × 32768)
    floor (4670.5)     		ty = 4670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28369 / 4670 ti = "15/28369/4670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28369/4670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28369 ÷ 215
    28369 ÷ 32768     		x = 0.865753173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4670 ÷ 215
    4670 ÷ 32768     		y = 0.14251708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865753173828125 × 2 - 1) × π
    0.73150634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.29809497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14251708984375 × 2 - 1) × π
    0.7149658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24613136859735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29809497} λ = 2.29809497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24613136859735))-π/2
    2×atan(9.45110219028794)-π/2
    2×1.46538077979895-π/2
    2.9307615595979-1.57079632675     		φ = 1.35996523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29809497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.671143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35996523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.920268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28369 KachelY 4670 2.29809497 1.35996523 131.671143 77.920268
    Oben rechts KachelX + 1 28370 KachelY 4670 2.29828672 1.35996523 131.682129 77.920268
    Unten links KachelX 28369 KachelY + 1 4671 2.29809497 1.35992510 131.671143 77.917969
    Unten rechts KachelX + 1 28370 KachelY + 1 4671 2.29828672 1.35992510 131.682129 77.917969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35996523-1.35992510) × R
    4.01299999999161e-05 × 6371000     		dl = 255.668229999465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35996523-1.35992510) × R
    4.01299999999161e-05 × 6371000     		dr = 255.668229999465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29809497-2.29828672) × cos(1.35996523) × R
    0.000191749999999935 × 0.209272666117159 × 6371000     		do = 255.65570288078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29809497-2.29828672) × cos(1.35992510) × R
    0.000191749999999935 × 0.209311907363158 × 6371000     		du = 255.703641527111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35996523)-sin(1.35992510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209272666117159-0.209311907363158)×R²
    abs(2.29828672-2.29809497)×3.9241245998356e-05×R²
    0.000191749999999935×3.9241245998356e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.9241245998356e-05×40589641000000     		ar = 65369.1692482207m²