Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28366 / 22287
↖ ↑ ↗
← N 49.784811°
W 24.180908°		 ← 394.36 m → N 49.784811°
W 24.175415°		 →
↑
394.43 m
↓
↑
394.43 m
↓
N 49.781264°
W 24.180908°		 ← 394.39 m →
155 553 m²		 N 49.781264°
W 24.175415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432838439941406 y=0.340080261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432838439941406 × 216)
    floor (0.432838439941406 × 65536)
    floor (28366.5)     		tx = 28366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340080261230469 × 216)
    floor (0.340080261230469 × 65536)
    floor (22287.5)     		ty = 22287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28366 / 22287 ti = "16/28366/22287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28366/22287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28366 ÷ 216
    28366 ÷ 65536     		x = 0.432830810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22287 ÷ 216
    22287 ÷ 65536     		y = 0.340072631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432830810546875 × 2 - 1) × π
    -0.13433837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42203646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340072631835938 × 2 - 1) × π
    0.319854736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00485328983562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42203646} λ = -0.42203646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00485328983562))-π/2
    2×atan(2.73150650366003)-π/2
    2×1.2198525972768-π/2
    2.43970519455359-1.57079632675     		φ = 0.86890887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42203646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.180908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86890887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.784811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28366 KachelY 22287 -0.42203646 0.86890887 -24.180908 49.784811
    Oben rechts KachelX + 1 28367 KachelY 22287 -0.42194059 0.86890887 -24.175415 49.784811
    Unten links KachelX 28366 KachelY + 1 22288 -0.42203646 0.86884696 -24.180908 49.781264
    Unten rechts KachelX + 1 28367 KachelY + 1 22288 -0.42194059 0.86884696 -24.175415 49.781264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86890887-0.86884696) × R
    6.19100000001094e-05 × 6371000     		dl = 394.428610000697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86890887-0.86884696) × R
    6.19100000001094e-05 × 6371000     		dr = 394.428610000697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42203646--0.42194059) × cos(0.86890887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645660145453756 × 6371000     		do = 394.361320419567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42203646--0.42194059) × cos(0.86884696) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645707420233467 × 6371000     		du = 394.390195276844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86890887)-sin(0.86884696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645660145453756-0.645707420233467)×R²
    abs(-0.42194059--0.42203646)×4.7274779711115e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7274779711115e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7274779711115e-05×40589641000000     		ar = 155553.082035876m²