Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28359 / 42179
↖ ↑ ↗
← S 45.840281°
W 24.219360°		 ← 425.51 m → S 45.840281°
W 24.213867°		 →
↑
425.52 m
↓
↑
425.52 m
↓
S 45.844108°
W 24.219360°		 ← 425.48 m →
181 057 m²		 S 45.844108°
W 24.213867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432731628417969 y=0.643608093261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432731628417969 × 216)
    floor (0.432731628417969 × 65536)
    floor (28359.5)     		tx = 28359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643608093261719 × 216)
    floor (0.643608093261719 × 65536)
    floor (42179.5)     		ty = 42179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28359 / 42179 ti = "16/28359/42179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28359/42179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28359 ÷ 216
    28359 ÷ 65536     		x = 0.432723999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42179 ÷ 216
    42179 ÷ 65536     		y = 0.643600463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432723999023438 × 2 - 1) × π
    -0.134552001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42270758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643600463867188 × 2 - 1) × π
    -0.287200927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.902268324648697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42270758} λ = -0.42270758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902268324648697))-π/2
    2×atan(0.405648472930353)-π/2
    2×0.385366246186122-π/2
    0.770732492372244-1.57079632675     		φ = -0.80006383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42270758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.219360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80006383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.840281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28359 KachelY 42179 -0.42270758 -0.80006383 -24.219360 -45.840281
    Oben rechts KachelX + 1 28360 KachelY 42179 -0.42261171 -0.80006383 -24.213867 -45.840281
    Unten links KachelX 28359 KachelY + 1 42180 -0.42270758 -0.80013062 -24.219360 -45.844108
    Unten rechts KachelX + 1 28360 KachelY + 1 42180 -0.42261171 -0.80013062 -24.213867 -45.844108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80006383--0.80013062) × R
    6.67899999999833e-05 × 6371000     		dl = 425.519089999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80006383--0.80013062) × R
    6.67899999999833e-05 × 6371000     		dr = 425.519089999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42270758--0.42261171) × cos(-0.80006383) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.696660919088629 × 6371000     		do = 425.511969216531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42270758--0.42261171) × cos(-0.80013062) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.696613002351378 × 6371000     		du = 425.48270225944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80006383)-sin(-0.80013062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696660919088629-0.696613002351378)×R²
    abs(-0.42261171--0.42270758)×4.79167372506861e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.79167372506861e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.79167372506861e-05×40589641000000     		ar = 181057.239167844m²