Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28359 / 14661
↖ ↑ ↗
← N 70.011200°
W 24.219360°		 ← 208.79 m → N 70.011200°
W 24.213867°		 →
↑
208.78 m
↓
↑
208.78 m
↓
N 70.009323°
W 24.219360°		 ← 208.81 m →
43 593 m²		 N 70.009323°
W 24.213867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432731628417969 y=0.223716735839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432731628417969 × 216)
    floor (0.432731628417969 × 65536)
    floor (28359.5)     		tx = 28359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223716735839844 × 216)
    floor (0.223716735839844 × 65536)
    floor (14661.5)     		ty = 14661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28359 / 14661 ti = "16/28359/14661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28359/14661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28359 ÷ 216
    28359 ÷ 65536     		x = 0.432723999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14661 ÷ 216
    14661 ÷ 65536     		y = 0.223709106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432723999023438 × 2 - 1) × π
    -0.134552001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42270758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223709106445312 × 2 - 1) × π
    0.552581787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73598688284071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42270758} λ = -0.42270758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73598688284071))-π/2
    2×atan(5.67452513287952)-π/2
    2×1.39636114524408-π/2
    2.79272229048817-1.57079632675     		φ = 1.22192596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42270758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.219360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22192596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.011200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28359 KachelY 14661 -0.42270758 1.22192596 -24.219360 70.011200
    Oben rechts KachelX + 1 28360 KachelY 14661 -0.42261171 1.22192596 -24.213867 70.011200
    Unten links KachelX 28359 KachelY + 1 14662 -0.42270758 1.22189319 -24.219360 70.009323
    Unten rechts KachelX + 1 28360 KachelY + 1 14662 -0.42261171 1.22189319 -24.213867 70.009323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22192596-1.22189319) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dl = 208.777670000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22192596-1.22189319) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dr = 208.777670000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42270758--0.42261171) × cos(1.22192596) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.341836442291753 × 6371000     		do = 208.78951829223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42270758--0.42261171) × cos(1.22189319) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.341867238025778 × 6371000     		du = 208.80832794994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22192596)-sin(1.22189319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341836442291753-0.341867238025778)×R²
    abs(-0.42261171--0.42270758)×3.07957340250353e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.07957340250353e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.07957340250353e-05×40589641000000     		ar = 43592.5526716839m²