Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28358 / 22043
↖ ↑ ↗
← N 50.642494°
W 24.224853°		 ← 387.34 m → N 50.642494°
W 24.219360°		 →
↑
387.36 m
↓
↑
387.36 m
↓
N 50.639010°
W 24.224853°		 ← 387.36 m →
150 043 m²		 N 50.639010°
W 24.219360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432716369628906 y=0.336357116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432716369628906 × 216)
    floor (0.432716369628906 × 65536)
    floor (28358.5)     		tx = 28358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336357116699219 × 216)
    floor (0.336357116699219 × 65536)
    floor (22043.5)     		ty = 22043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28358 / 22043 ti = "16/28358/22043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28358/22043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28358 ÷ 216
    28358 ÷ 65536     		x = 0.432708740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22043 ÷ 216
    22043 ÷ 65536     		y = 0.336349487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432708740234375 × 2 - 1) × π
    -0.13458251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42280345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336349487304688 × 2 - 1) × π
    0.327301025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0282464968502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42280345} λ = -0.42280345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0282464968502))-π/2
    2×atan(2.79615846074042)-π/2
    2×1.22733729372617-π/2
    2.45467458745234-1.57079632675     		φ = 0.88387826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42280345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.224853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88387826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.642494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28358 KachelY 22043 -0.42280345 0.88387826 -24.224853 50.642494
    Oben rechts KachelX + 1 28359 KachelY 22043 -0.42270758 0.88387826 -24.219360 50.642494
    Unten links KachelX 28358 KachelY + 1 22044 -0.42280345 0.88381746 -24.224853 50.639010
    Unten rechts KachelX + 1 28359 KachelY + 1 22044 -0.42270758 0.88381746 -24.219360 50.639010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88387826-0.88381746) × R
    6.0799999999972e-05 × 6371000     		dl = 387.356799999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88387826-0.88381746) × R
    6.0799999999972e-05 × 6371000     		dr = 387.356799999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42280345--0.42270758) × cos(0.88387826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63415723426977 × 6371000     		do = 387.335482948992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42280345--0.42270758) × cos(0.88381746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634204243907759 × 6371000     		du = 387.364195860948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88387826)-sin(0.88381746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63415723426977-0.634204243907759)×R²
    abs(-0.42270758--0.42280345)×4.70096379892038e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70096379892038e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70096379892038e-05×40589641000000     		ar = 150042.594318702m²