Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28356 / 22044
↖ ↑ ↗
← N 50.639010°
W 24.235840°		 ← 387.36 m → N 50.639010°
W 24.230347°		 →
↑
387.42 m
↓
↑
387.42 m
↓
N 50.635526°
W 24.235840°		 ← 387.39 m →
150 078 m²		 N 50.635526°
W 24.230347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432685852050781 y=0.336372375488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432685852050781 × 216)
    floor (0.432685852050781 × 65536)
    floor (28356.5)     		tx = 28356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336372375488281 × 216)
    floor (0.336372375488281 × 65536)
    floor (22044.5)     		ty = 22044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28356 / 22044 ti = "16/28356/22044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28356/22044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28356 ÷ 216
    28356 ÷ 65536     		x = 0.43267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22044 ÷ 216
    22044 ÷ 65536     		y = 0.33636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43267822265625 × 2 - 1) × π
    -0.1346435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42299520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33636474609375 × 2 - 1) × π
    0.3272705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02815062305096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42299520} λ = -0.42299520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02815062305096))-π/2
    2×atan(2.79589039525594)-π/2
    2×1.22730689306774-π/2
    2.45461378613548-1.57079632675     		φ = 0.88381746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42299520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.235840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88381746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.639010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28356 KachelY 22044 -0.42299520 0.88381746 -24.235840 50.639010
    Oben rechts KachelX + 1 28357 KachelY 22044 -0.42289933 0.88381746 -24.230347 50.639010
    Unten links KachelX 28356 KachelY + 1 22045 -0.42299520 0.88375665 -24.235840 50.635526
    Unten rechts KachelX + 1 28357 KachelY + 1 22045 -0.42289933 0.88375665 -24.230347 50.635526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88381746-0.88375665) × R
    6.08100000000222e-05 × 6371000     		dl = 387.420510000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88381746-0.88375665) × R
    6.08100000000222e-05 × 6371000     		dr = 387.420510000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42299520--0.42289933) × cos(0.88381746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634204243907759 × 6371000     		do = 387.364195860948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42299520--0.42289933) × cos(0.88375665) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634251258932593 × 6371000     		du = 387.392912063123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88381746)-sin(0.88375665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634204243907759-0.634251258932593)×R²
    abs(-0.42289933--0.42299520)×4.70150248342849e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70150248342849e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70150248342849e-05×40589641000000     		ar = 150078.396985298m²