Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28354 / 21309
↖ ↑ ↗
← N 53.130294°
W 24.246826°		 ← 366.47 m → N 53.130294°
W 24.241333°		 →
↑
366.46 m
↓
↑
366.46 m
↓
N 53.126998°
W 24.246826°		 ← 366.50 m →
134 302 m²		 N 53.126998°
W 24.241333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432655334472656 y=0.325157165527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432655334472656 × 216)
    floor (0.432655334472656 × 65536)
    floor (28354.5)     		tx = 28354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325157165527344 × 216)
    floor (0.325157165527344 × 65536)
    floor (21309.5)     		ty = 21309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28354 / 21309 ti = "16/28354/21309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28354/21309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28354 ÷ 216
    28354 ÷ 65536     		x = 0.432647705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21309 ÷ 216
    21309 ÷ 65536     		y = 0.325149536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432647705078125 × 2 - 1) × π
    -0.13470458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42318695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325149536132812 × 2 - 1) × π
    0.349700927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09861786549245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42318695} λ = -0.42318695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09861786549245))-π/2
    2×atan(3.00001673051966)-π/2
    2×1.24904744544182-π/2
    2.49809489088365-1.57079632675     		φ = 0.92729856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42318695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.246826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92729856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.130294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28354 KachelY 21309 -0.42318695 0.92729856 -24.246826 53.130294
    Oben rechts KachelX + 1 28355 KachelY 21309 -0.42309108 0.92729856 -24.241333 53.130294
    Unten links KachelX 28354 KachelY + 1 21310 -0.42318695 0.92724104 -24.246826 53.126998
    Unten rechts KachelX + 1 28355 KachelY + 1 21310 -0.42309108 0.92724104 -24.241333 53.126998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92729856-0.92724104) × R
    5.75200000000331e-05 × 6371000     		dl = 366.459920000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92729856-0.92724104) × R
    5.75200000000331e-05 × 6371000     		dr = 366.459920000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42318695--0.42309108) × cos(0.92729856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599997326397939 × 6371000     		do = 366.471028996551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42318695--0.42309108) × cos(0.92724104) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600043341520692 × 6371000     		du = 366.499134470764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92729856)-sin(0.92724104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599997326397939-0.600043341520692)×R²
    abs(-0.42309108--0.42318695)×4.60151227527072e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60151227527072e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60151227527072e-05×40589641000000     		ar = 134302.093770466m²