Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28353 / 15040
↖ ↑ ↗
← N 69.287257°
W 24.252319°		 ← 216.03 m → N 69.287257°
W 24.246826°		 →
↑
216.04 m
↓
↑
216.04 m
↓
N 69.285314°
W 24.252319°		 ← 216.04 m →
46 672 m²		 N 69.285314°
W 24.246826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432640075683594 y=0.229499816894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432640075683594 × 216)
    floor (0.432640075683594 × 65536)
    floor (28353.5)     		tx = 28353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229499816894531 × 216)
    floor (0.229499816894531 × 65536)
    floor (15040.5)     		ty = 15040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28353 / 15040 ti = "16/28353/15040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28353/15040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28353 ÷ 216
    28353 ÷ 65536     		x = 0.432632446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15040 ÷ 216
    15040 ÷ 65536     		y = 0.2294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432632446289062 × 2 - 1) × π
    -0.134735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42328282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2294921875 × 2 - 1) × π
    0.541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69965071292871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42328282} λ = -0.42328282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69965071292871))-π/2
    2×atan(5.47203574655026)-π/2
    2×1.39004354512992-π/2
    2.78008709025984-1.57079632675     		φ = 1.20929076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42328282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.252319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20929076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.287257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28353 KachelY 15040 -0.42328282 1.20929076 -24.252319 69.287257
    Oben rechts KachelX + 1 28354 KachelY 15040 -0.42318695 1.20929076 -24.246826 69.287257
    Unten links KachelX 28353 KachelY + 1 15041 -0.42328282 1.20925685 -24.252319 69.285314
    Unten rechts KachelX + 1 28354 KachelY + 1 15041 -0.42318695 1.20925685 -24.246826 69.285314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20929076-1.20925685) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dl = 216.040609999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20929076-1.20925685) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dr = 216.040609999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42328282--0.42318695) × cos(1.20929076) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353682888668491 × 6371000     		do = 216.025182856981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42328282--0.42318695) × cos(1.20925685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353714606705538 × 6371000     		du = 216.044555846098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20929076)-sin(1.20925685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353682888668491-0.353714606705538)×R²
    abs(-0.42318695--0.42328282)×3.17180370472681e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17180370472681e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17180370472681e-05×40589641000000     		ar = 46672.3049604419m²