Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28352 / 4802
↖ ↑ ↗
← N 77.612996°
E131.484375°		 ← 262.06 m → N 77.612996°
E131.495362°		 →
↑
262.10 m
↓
↑
262.10 m
↓
N 77.610639°
E131.484375°		 ← 262.11 m →
68 693 m²		 N 77.610639°
E131.495362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865249633789062 y=0.146560668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865249633789062 × 215)
    floor (0.865249633789062 × 32768)
    floor (28352.5)     		tx = 28352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146560668945312 × 215)
    floor (0.146560668945312 × 32768)
    floor (4802.5)     		ty = 4802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28352 / 4802 ti = "15/28352/4802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28352/4802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28352 ÷ 215
    28352 ÷ 32768     		x = 0.865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4802 ÷ 215
    4802 ÷ 32768     		y = 0.14654541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865234375 × 2 - 1) × π
    0.73046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.29483526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14654541015625 × 2 - 1) × π
    0.7069091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22082068559796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29483526} λ = 2.29483526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22082068559796))-π/2
    2×atan(9.21489029125102)-π/2
    2×1.4626993290039-π/2
    2.92539865800781-1.57079632675     		φ = 1.35460233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29483526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.484375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35460233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.612996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28352 KachelY 4802 2.29483526 1.35460233 131.484375 77.612996
    Oben rechts KachelX + 1 28353 KachelY 4802 2.29502701 1.35460233 131.495362 77.612996
    Unten links KachelX 28352 KachelY + 1 4803 2.29483526 1.35456119 131.484375 77.610639
    Unten rechts KachelX + 1 28353 KachelY + 1 4803 2.29502701 1.35456119 131.495362 77.610639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35460233-1.35456119) × R
    4.11399999999951e-05 × 6371000     		dl = 262.102939999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35460233-1.35456119) × R
    4.11399999999951e-05 × 6371000     		dr = 262.102939999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29483526-2.29502701) × cos(1.35460233) × R
    0.000191749999999935 × 0.214513782629935 × 6371000     		do = 262.058456526608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29483526-2.29502701) × cos(1.35456119) × R
    0.000191749999999935 × 0.214553964748756 × 6371000     		du = 262.107544580108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35460233)-sin(1.35456119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214513782629935-0.214553964748756)×R²
    abs(2.29502701-2.29483526)×4.01821188215357e-05×R²
    0.000191749999999935×4.01821188215357e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.01821188215357e-05×40589641000000     		ar = 68692.7249783235m²