Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28352 / 42183
↖ ↑ ↗
← S 45.855586°
W 24.257813°		 ← 425.44 m → S 45.855586°
W 24.252319°		 →
↑
425.39 m
↓
↑
425.39 m
↓
S 45.859412°
W 24.257813°		 ← 425.41 m →
180 972 m²		 S 45.859412°
W 24.252319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432624816894531 y=0.643669128417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432624816894531 × 216)
    floor (0.432624816894531 × 65536)
    floor (28352.5)     		tx = 28352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643669128417969 × 216)
    floor (0.643669128417969 × 65536)
    floor (42183.5)     		ty = 42183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28352 / 42183 ti = "16/28352/42183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28352/42183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28352 ÷ 216
    28352 ÷ 65536     		x = 0.4326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42183 ÷ 216
    42183 ÷ 65536     		y = 0.643661499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4326171875 × 2 - 1) × π
    -0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643661499023438 × 2 - 1) × π
    -0.287322998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.902651819845657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42337870} λ = -0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902651819845657))-π/2
    2×atan(0.405492938514586)-π/2
    2×0.385232681504107-π/2
    0.770465363008214-1.57079632675     		φ = -0.80033096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80033096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.855586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28352 KachelY 42183 -0.42337870 -0.80033096 -24.257813 -45.855586
    Oben rechts KachelX + 1 28353 KachelY 42183 -0.42328282 -0.80033096 -24.252319 -45.855586
    Unten links KachelX 28352 KachelY + 1 42184 -0.42337870 -0.80039773 -24.257813 -45.859412
    Unten rechts KachelX + 1 28353 KachelY + 1 42184 -0.42328282 -0.80039773 -24.252319 -45.859412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80033096--0.80039773) × R
    6.67699999999938e-05 × 6371000     		dl = 425.39166999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80033096--0.80039773) × R
    6.67699999999938e-05 × 6371000     		dr = 425.39166999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42337870--0.42328282) × cos(-0.80033096) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.696469255022938 × 6371000     		do = 425.439275205226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42337870--0.42328282) × cos(-0.80039773) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.696421340210933 × 6371000     		du = 425.410006371399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80033096)-sin(-0.80039773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696469255022938-0.696421340210933)×R²
    abs(-0.42328282--0.42337870)×4.79148120049455e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79148120049455e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79148120049455e-05×40589641000000     		ar = 180972.098471352m²