Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28352 / 21191
↖ ↑ ↗
← N 53.517451°
W 24.257813°		 ← 363.20 m → N 53.517451°
W 24.252319°		 →
↑
363.15 m
↓
↑
363.15 m
↓
N 53.514185°
W 24.257813°		 ← 363.23 m →
131 900 m²		 N 53.514185°
W 24.252319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432624816894531 y=0.323356628417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432624816894531 × 216)
    floor (0.432624816894531 × 65536)
    floor (28352.5)     		tx = 28352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323356628417969 × 216)
    floor (0.323356628417969 × 65536)
    floor (21191.5)     		ty = 21191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28352 / 21191 ti = "16/28352/21191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28352/21191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28352 ÷ 216
    28352 ÷ 65536     		x = 0.4326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21191 ÷ 216
    21191 ÷ 65536     		y = 0.323348999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4326171875 × 2 - 1) × π
    -0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323348999023438 × 2 - 1) × π
    0.353302001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10993097380278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42337870} λ = -0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10993097380278))-π/2
    2×atan(3.03414895144332)-π/2
    2×1.25242602491256-π/2
    2.50485204982513-1.57079632675     		φ = 0.93405572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93405572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.517451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28352 KachelY 21191 -0.42337870 0.93405572 -24.257813 53.517451
    Oben rechts KachelX + 1 28353 KachelY 21191 -0.42328282 0.93405572 -24.252319 53.517451
    Unten links KachelX 28352 KachelY + 1 21192 -0.42337870 0.93399872 -24.257813 53.514185
    Unten rechts KachelX + 1 28353 KachelY + 1 21192 -0.42328282 0.93399872 -24.252319 53.514185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93405572-0.93399872) × R
    5.70000000000848e-05 × 6371000     		dl = 363.14700000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93405572-0.93399872) × R
    5.70000000000848e-05 × 6371000     		dr = 363.14700000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42337870--0.42328282) × cos(0.93405572) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.594577928335184 × 6371000     		do = 363.198807498853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42337870--0.42328282) × cos(0.93399872) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.594623757534618 × 6371000     		du = 363.226802333155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93405572)-sin(0.93399872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594577928335184-0.594623757534618)×R²
    abs(-0.42328282--0.42337870)×4.58291994344107e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.58291994344107e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.58291994344107e-05×40589641000000     		ar = 131899.640502676m²