Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28352 / 15042
↖ ↑ ↗
← N 69.283371°
W 24.257813°		 ← 216.09 m → N 69.283371°
W 24.252319°		 →
↑
216.10 m
↓
↑
216.10 m
↓
N 69.281427°
W 24.257813°		 ← 216.11 m →
46 699 m²		 N 69.281427°
W 24.252319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432624816894531 y=0.229530334472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432624816894531 × 216)
    floor (0.432624816894531 × 65536)
    floor (28352.5)     		tx = 28352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229530334472656 × 216)
    floor (0.229530334472656 × 65536)
    floor (15042.5)     		ty = 15042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28352 / 15042 ti = "16/28352/15042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28352/15042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28352 ÷ 216
    28352 ÷ 65536     		x = 0.4326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15042 ÷ 216
    15042 ÷ 65536     		y = 0.229522705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4326171875 × 2 - 1) × π
    -0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229522705078125 × 2 - 1) × π
    0.54095458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69945896533023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42337870} λ = -0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69945896533023))-π/2
    2×atan(5.47098659742619)-π/2
    2×1.39000963316696-π/2
    2.78001926633392-1.57079632675     		φ = 1.20922294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20922294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.283371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28352 KachelY 15042 -0.42337870 1.20922294 -24.257813 69.283371
    Oben rechts KachelX + 1 28353 KachelY 15042 -0.42328282 1.20922294 -24.252319 69.283371
    Unten links KachelX 28352 KachelY + 1 15043 -0.42337870 1.20918902 -24.257813 69.281427
    Unten rechts KachelX + 1 28353 KachelY + 1 15043 -0.42328282 1.20918902 -24.252319 69.281427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20922294-1.20918902) × R
    3.39200000001316e-05 × 6371000     		dl = 216.104320000839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20922294-1.20918902) × R
    3.39200000001316e-05 × 6371000     		dr = 216.104320000839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42337870--0.42328282) × cos(1.20922294) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.353746324335853 × 6371000     		do = 216.086465765099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42337870--0.42328282) × cos(1.20918902) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.353778050912694 × 6371000     		du = 216.105845991518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20922294)-sin(1.20918902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353746324335853-0.353778050912694)×R²
    abs(-0.42328282--0.42337870)×3.1726576840585e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.1726576840585e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.1726576840585e-05×40589641000000     		ar = 46699.3128256091m²