Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28351 / 42815
↖ ↑ ↗
← S 48.221013°
W 24.263306°		 ← 406.94 m → S 48.221013°
W 24.257813°		 →
↑
406.98 m
↓
↑
406.98 m
↓
S 48.224673°
W 24.263306°		 ← 406.91 m →
165 611 m²		 S 48.224673°
W 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432609558105469 y=0.653312683105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432609558105469 × 216)
    floor (0.432609558105469 × 65536)
    floor (28351.5)     		tx = 28351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653312683105469 × 216)
    floor (0.653312683105469 × 65536)
    floor (42815.5)     		ty = 42815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28351 / 42815 ti = "16/28351/42815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28351/42815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28351 ÷ 216
    28351 ÷ 65536     		x = 0.432601928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42815 ÷ 216
    42815 ÷ 65536     		y = 0.653305053710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432601928710938 × 2 - 1) × π
    -0.134796142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42347457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653305053710938 × 2 - 1) × π
    -0.306610107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.963244060965408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42347457} λ = -0.42347457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.963244060965408))-π/2
    2×atan(0.381652770702136)-π/2
    2×0.364590441441284-π/2
    0.729180882882568-1.57079632675     		φ = -0.84161544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42347457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.263306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84161544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.221013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28351 KachelY 42815 -0.42347457 -0.84161544 -24.263306 -48.221013
    Oben rechts KachelX + 1 28352 KachelY 42815 -0.42337870 -0.84161544 -24.257813 -48.221013
    Unten links KachelX 28351 KachelY + 1 42816 -0.42347457 -0.84167932 -24.263306 -48.224673
    Unten rechts KachelX + 1 28352 KachelY + 1 42816 -0.42337870 -0.84167932 -24.257813 -48.224673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84161544--0.84167932) × R
    6.38800000000161e-05 × 6371000     		dl = 406.979480000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84161544--0.84167932) × R
    6.38800000000161e-05 × 6371000     		dr = 406.979480000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42347457--0.42337870) × cos(-0.84161544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.666259029161996 × 6371000     		do = 406.942866664211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42347457--0.42337870) × cos(-0.84167932) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.666211391183872 × 6371000     		du = 406.913769969786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84161544)-sin(-0.84167932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666259029161996-0.666211391183872)×R²
    abs(-0.42337870--0.42347457)×4.76379781241265e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76379781241265e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76379781241265e-05×40589641000000     		ar = 165611.475442223m²