Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28351 / 21313
↖ ↑ ↗
← N 53.117108°
W 24.263306°		 ← 366.58 m → N 53.117108°
W 24.257813°		 →
↑
366.59 m
↓
↑
366.59 m
↓
N 53.113812°
W 24.263306°		 ← 366.61 m →
134 390 m²		 N 53.113812°
W 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432609558105469 y=0.325218200683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432609558105469 × 216)
    floor (0.432609558105469 × 65536)
    floor (28351.5)     		tx = 28351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325218200683594 × 216)
    floor (0.325218200683594 × 65536)
    floor (21313.5)     		ty = 21313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28351 / 21313 ti = "16/28351/21313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28351/21313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28351 ÷ 216
    28351 ÷ 65536     		x = 0.432601928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21313 ÷ 216
    21313 ÷ 65536     		y = 0.325210571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432601928710938 × 2 - 1) × π
    -0.134796142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42347457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325210571289062 × 2 - 1) × π
    0.349578857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09823437029549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42347457} λ = -0.42347457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09823437029549))-π/2
    2×atan(2.99886645908859)-π/2
    2×1.24893237974704-π/2
    2.49786475949407-1.57079632675     		φ = 0.92706843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42347457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.263306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92706843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.117108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28351 KachelY 21313 -0.42347457 0.92706843 -24.263306 53.117108
    Oben rechts KachelX + 1 28352 KachelY 21313 -0.42337870 0.92706843 -24.257813 53.117108
    Unten links KachelX 28351 KachelY + 1 21314 -0.42347457 0.92701089 -24.263306 53.113812
    Unten rechts KachelX + 1 28352 KachelY + 1 21314 -0.42337870 0.92701089 -24.257813 53.113812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92706843-0.92701089) × R
    5.75400000000226e-05 × 6371000     		dl = 366.587340000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92706843-0.92701089) × R
    5.75400000000226e-05 × 6371000     		dr = 366.587340000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42347457--0.42337870) × cos(0.92706843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600181414969895 × 6371000     		do = 366.583468044899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42347457--0.42337870) × cos(0.92701089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600227438145501 × 6371000     		du = 366.611578437696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92706843)-sin(0.92701089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600181414969895-0.600227438145501)×R²
    abs(-0.42337870--0.42347457)×4.60231756060914e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60231756060914e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60231756060914e-05×40589641000000     		ar = 134390.010932963m²