Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28351 / 15041
↖ ↑ ↗
← N 69.285314°
W 24.263306°		 ← 216.04 m → N 69.285314°
W 24.257813°		 →
↑
216.04 m
↓
↑
216.04 m
↓
N 69.283371°
W 24.263306°		 ← 216.06 m →
46 676 m²		 N 69.283371°
W 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432609558105469 y=0.229515075683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432609558105469 × 216)
    floor (0.432609558105469 × 65536)
    floor (28351.5)     		tx = 28351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229515075683594 × 216)
    floor (0.229515075683594 × 65536)
    floor (15041.5)     		ty = 15041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28351 / 15041 ti = "16/28351/15041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28351/15041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28351 ÷ 216
    28351 ÷ 65536     		x = 0.432601928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15041 ÷ 216
    15041 ÷ 65536     		y = 0.229507446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432601928710938 × 2 - 1) × π
    -0.134796142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42347457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229507446289062 × 2 - 1) × π
    0.540985107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69955483912947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42347457} λ = -0.42347457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69955483912947))-π/2
    2×atan(5.47151114684175)-π/2
    2×1.39002658990871-π/2
    2.78005317981742-1.57079632675     		φ = 1.20925685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42347457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.263306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20925685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.285314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28351 KachelY 15041 -0.42347457 1.20925685 -24.263306 69.285314
    Oben rechts KachelX + 1 28352 KachelY 15041 -0.42337870 1.20925685 -24.257813 69.285314
    Unten links KachelX 28351 KachelY + 1 15042 -0.42347457 1.20922294 -24.263306 69.283371
    Unten rechts KachelX + 1 28352 KachelY + 1 15042 -0.42337870 1.20922294 -24.257813 69.283371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20925685-1.20922294) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dl = 216.040609999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20925685-1.20922294) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dr = 216.040609999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42347457--0.42337870) × cos(1.20925685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353714606705538 × 6371000     		do = 216.044555846098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42347457--0.42337870) × cos(1.20922294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353746324335853 × 6371000     		du = 216.063928586788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20925685)-sin(1.20922294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353714606705538-0.353746324335853)×R²
    abs(-0.42337870--0.42347457)×3.17176303150091e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17176303150091e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17176303150091e-05×40589641000000     		ar = 46676.4902856336m²