Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2835 / 5907
↖ ↑ ↗
← S 62.000905°
W 55.415039°		 ← 2 294 m → S 62.000905°
W 55.371094°		 →
↑
2 293.18 m
↓
↑
2 293.18 m
↓
S 62.021528°
W 55.415039°		 ← 2 292.45 m →
5 258 772 m²		 S 62.021528°
W 55.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34613037109375 y=0.72113037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34613037109375 × 213)
    floor (0.34613037109375 × 8192)
    floor (2835.5)     		tx = 2835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72113037109375 × 213)
    floor (0.72113037109375 × 8192)
    floor (5907.5)     		ty = 5907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2835 / 5907 ti = "13/2835/5907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2835/5907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2835 ÷ 213
    2835 ÷ 8192     		x = 0.3460693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5907 ÷ 213
    5907 ÷ 8192     		y = 0.7210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3460693359375 × 2 - 1) × π
    -0.307861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96717489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7210693359375 × 2 - 1) × π
    -0.442138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.38901960339075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96717489} λ = -0.96717489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38901960339075))-π/2
    2×atan(0.249319616957697)-π/2
    2×0.244338200172222-π/2
    0.488676400344444-1.57079632675     		φ = -1.08211993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96717489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.415039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08211993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.000905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2835 KachelY 5907 -0.96717489 -1.08211993 -55.415039 -62.000905
    Oben rechts KachelX + 1 2836 KachelY 5907 -0.96640790 -1.08211993 -55.371094 -62.000905
    Unten links KachelX 2835 KachelY + 1 5908 -0.96717489 -1.08247987 -55.415039 -62.021528
    Unten rechts KachelX + 1 2836 KachelY + 1 5908 -0.96640790 -1.08247987 -55.371094 -62.021528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08211993--1.08247987) × R
    0.000359940000000059 × 6371000     		dl = 2293.17774000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08211993--1.08247987) × R
    0.000359940000000059 × 6371000     		dr = 2293.17774000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96717489--0.96640790) × cos(-1.08211993) × R
    0.000766990000000023 × 0.46945761766186 × 6371000     		do = 2294.00149864413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96717489--0.96640790) × cos(-1.08247987) × R
    0.000766990000000023 × 0.469139776432619 × 6371000     		du = 2292.44836961016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08211993)-sin(-1.08247987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46945761766186-0.469139776432619)×R²
    abs(-0.96640790--0.96717489)×0.000317841229240834×R²
    0.000766990000000023×0.000317841229240834×6371000²
    0.000766990000000023×0.000317841229240834×40589641000000     		ar = 5258772.42853159m²