Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28348 / 21180
↖ ↑ ↗
← N 53.553363°
W 24.279785°		 ← 362.85 m → N 53.553363°
W 24.274292°		 →
↑
362.89 m
↓
↑
362.89 m
↓
N 53.550099°
W 24.279785°		 ← 362.88 m →
131 682 m²		 N 53.550099°
W 24.274292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432563781738281 y=0.323188781738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432563781738281 × 216)
    floor (0.432563781738281 × 65536)
    floor (28348.5)     		tx = 28348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323188781738281 × 216)
    floor (0.323188781738281 × 65536)
    floor (21180.5)     		ty = 21180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28348 / 21180 ti = "16/28348/21180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28348/21180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28348 ÷ 216
    28348 ÷ 65536     		x = 0.43255615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21180 ÷ 216
    21180 ÷ 65536     		y = 0.32318115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43255615234375 × 2 - 1) × π
    -0.1348876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42376219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32318115234375 × 2 - 1) × π
    0.3536376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11098558559442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42376219} λ = -0.42376219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11098558559442))-π/2
    2×atan(3.03735048859779)-π/2
    2×1.25273941644925-π/2
    2.5054788328985-1.57079632675     		φ = 0.93468251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42376219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.279785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93468251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.553363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28348 KachelY 21180 -0.42376219 0.93468251 -24.279785 53.553363
    Oben rechts KachelX + 1 28349 KachelY 21180 -0.42366632 0.93468251 -24.274292 53.553363
    Unten links KachelX 28348 KachelY + 1 21181 -0.42376219 0.93462555 -24.279785 53.550099
    Unten rechts KachelX + 1 28349 KachelY + 1 21181 -0.42366632 0.93462555 -24.274292 53.550099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93468251-0.93462555) × R
    5.69599999999948e-05 × 6371000     		dl = 362.892159999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93468251-0.93462555) × R
    5.69599999999948e-05 × 6371000     		dr = 362.892159999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42376219--0.42366632) × cos(0.93468251) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.594073848602663 × 6371000     		do = 362.85304120333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42376219--0.42366632) × cos(0.93462555) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59411966686135 × 6371000     		du = 362.881026435379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93468251)-sin(0.93462555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594073848602663-0.59411966686135)×R²
    abs(-0.42366632--0.42376219)×4.58182586865474e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58182586865474e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58182586865474e-05×40589641000000     		ar = 131681.601731416m²