Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28346 / 21162
↖ ↑ ↗
← N 53.612062°
W 24.290771°		 ← 362.35 m → N 53.612062°
W 24.285279°		 →
↑
362.32 m
↓
↑
362.32 m
↓
N 53.608804°
W 24.290771°		 ← 362.38 m →
131 291 m²		 N 53.608804°
W 24.285279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432533264160156 y=0.322914123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432533264160156 × 216)
    floor (0.432533264160156 × 65536)
    floor (28346.5)     		tx = 28346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322914123535156 × 216)
    floor (0.322914123535156 × 65536)
    floor (21162.5)     		ty = 21162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28346 / 21162 ti = "16/28346/21162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28346/21162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28346 ÷ 216
    28346 ÷ 65536     		x = 0.432525634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21162 ÷ 216
    21162 ÷ 65536     		y = 0.322906494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432525634765625 × 2 - 1) × π
    -0.13494873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42395394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322906494140625 × 2 - 1) × π
    0.35418701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11271131398074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42395394} λ = -0.42395394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11271131398074))-π/2
    2×atan(3.04259665598318)-π/2
    2×1.25325166578131-π/2
    2.50650333156261-1.57079632675     		φ = 0.93570700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42395394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.290771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93570700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.612062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28346 KachelY 21162 -0.42395394 0.93570700 -24.290771 53.612062
    Oben rechts KachelX + 1 28347 KachelY 21162 -0.42385807 0.93570700 -24.285279 53.612062
    Unten links KachelX 28346 KachelY + 1 21163 -0.42395394 0.93565013 -24.290771 53.608804
    Unten rechts KachelX + 1 28347 KachelY + 1 21163 -0.42385807 0.93565013 -24.285279 53.608804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93570700-0.93565013) × R
    5.68699999999867e-05 × 6371000     		dl = 362.318769999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93570700-0.93565013) × R
    5.68699999999867e-05 × 6371000     		dr = 362.318769999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42395394--0.42385807) × cos(0.93570700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.593249426463462 × 6371000     		do = 362.349494243389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42395394--0.42385807) × cos(0.93565013) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.593295206917939 × 6371000     		du = 362.377456385089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93570700)-sin(0.93565013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593249426463462-0.593295206917939)×R²
    abs(-0.42385807--0.42395394)×4.5780454477784e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5780454477784e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5780454477784e-05×40589641000000     		ar = 131291.088704166m²