Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28345 / 4665
↖ ↑ ↗
← N 77.931759°
E131.407471°		 ← 255.40 m → N 77.931759°
E131.418457°		 →
↑
255.48 m
↓
↑
255.48 m
↓
N 77.929461°
E131.407471°		 ← 255.45 m →
65 256 m²		 N 77.929461°
E131.418457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865036010742188 y=0.142379760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865036010742188 × 215)
    floor (0.865036010742188 × 32768)
    floor (28345.5)     		tx = 28345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142379760742188 × 215)
    floor (0.142379760742188 × 32768)
    floor (4665.5)     		ty = 4665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28345 / 4665 ti = "15/28345/4665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28345/4665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28345 ÷ 215
    28345 ÷ 32768     		x = 0.865020751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4665 ÷ 215
    4665 ÷ 32768     		y = 0.142364501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865020751953125 × 2 - 1) × π
    0.73004150390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.29349303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142364501953125 × 2 - 1) × π
    0.71527099609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24709010658975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29349303} λ = 2.29349303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24709010658975))-π/2
    2×atan(9.46016766604144)-π/2
    2×1.46548105161464-π/2
    2.93096210322929-1.57079632675     		φ = 1.36016578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29349303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.407471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36016578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.931759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28345 KachelY 4665 2.29349303 1.36016578 131.407471 77.931759
    Oben rechts KachelX + 1 28346 KachelY 4665 2.29368477 1.36016578 131.418457 77.931759
    Unten links KachelX 28345 KachelY + 1 4666 2.29349303 1.36012568 131.407471 77.929461
    Unten rechts KachelX + 1 28346 KachelY + 1 4666 2.29368477 1.36012568 131.418457 77.929461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36016578-1.36012568) × R
    4.01000000000984e-05 × 6371000     		dl = 255.477100000627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36016578-1.36012568) × R
    4.01000000000984e-05 × 6371000     		dr = 255.477100000627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29349303-2.29368477) × cos(1.36016578) × R
    0.000191739999999996 × 0.209076552623116 × 6371000     		do = 255.402802671916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29349303-2.29368477) × cos(1.36012568) × R
    0.000191739999999996 × 0.209115766215998 × 6371000     		du = 255.450705037816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36016578)-sin(1.36012568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209076552623116-0.209115766215998)×R²
    abs(2.29368477-2.29349303)×3.92135928820037e-05×R²
    0.000191739999999996×3.92135928820037e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.92135928820037e-05×40589641000000     		ar = 65255.6863460243m²