Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28345 / 4647
↖ ↑ ↗
← N 77.973035°
E131.407471°		 ← 254.54 m → N 77.973035°
E131.418457°		 →
↑
254.59 m
↓
↑
254.59 m
↓
N 77.970745°
E131.407471°		 ← 254.59 m →
64 809 m²		 N 77.970745°
E131.418457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865036010742188 y=0.141830444335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865036010742188 × 215)
    floor (0.865036010742188 × 32768)
    floor (28345.5)     		tx = 28345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141830444335938 × 215)
    floor (0.141830444335938 × 32768)
    floor (4647.5)     		ty = 4647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28345 / 4647 ti = "15/28345/4647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28345/4647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28345 ÷ 215
    28345 ÷ 32768     		x = 0.865020751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4647 ÷ 215
    4647 ÷ 32768     		y = 0.141815185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865020751953125 × 2 - 1) × π
    0.73004150390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.29349303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141815185546875 × 2 - 1) × π
    0.71636962890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2505415633624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29349303} λ = 2.29349303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2505415633624))-π/2
    2×atan(9.49287543806397)-π/2
    2×1.465841252718-π/2
    2.93168250543601-1.57079632675     		φ = 1.36088618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29349303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.407471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36088618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.973035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28345 KachelY 4647 2.29349303 1.36088618 131.407471 77.973035
    Oben rechts KachelX + 1 28346 KachelY 4647 2.29368477 1.36088618 131.418457 77.973035
    Unten links KachelX 28345 KachelY + 1 4648 2.29349303 1.36084622 131.407471 77.970745
    Unten rechts KachelX + 1 28346 KachelY + 1 4648 2.29368477 1.36084622 131.418457 77.970745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36088618-1.36084622) × R
    3.99600000000611e-05 × 6371000     		dl = 254.585160000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36088618-1.36084622) × R
    3.99600000000611e-05 × 6371000     		dr = 254.585160000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29349303-2.29368477) × cos(1.36088618) × R
    0.000191739999999996 × 0.208372019792329 × 6371000     		do = 254.542162598699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29349303-2.29368477) × cos(1.36084622) × R
    0.000191739999999996 × 0.208411102489631 × 6371000     		du = 254.589905065761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36088618)-sin(1.36084622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208372019792329-0.208411102489631)×R²
    abs(2.29368477-2.29349303)×3.90826973022673e-05×R²
    0.000191739999999996×3.90826973022673e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.90826973022673e-05×40589641000000     		ar = 64808.7344618954m²