Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28345 / 15161
↖ ↑ ↗
← N 69.050894°
W 24.296264°		 ← 218.38 m → N 69.050894°
W 24.290771°		 →
↑
218.40 m
↓
↑
218.40 m
↓
N 69.048930°
W 24.296264°		 ← 218.40 m →
47 696 m²		 N 69.048930°
W 24.290771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432518005371094 y=0.231346130371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432518005371094 × 216)
    floor (0.432518005371094 × 65536)
    floor (28345.5)     		tx = 28345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231346130371094 × 216)
    floor (0.231346130371094 × 65536)
    floor (15161.5)     		ty = 15161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28345 / 15161 ti = "16/28345/15161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28345/15161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28345 ÷ 216
    28345 ÷ 65536     		x = 0.432510375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15161 ÷ 216
    15161 ÷ 65536     		y = 0.231338500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432510375976562 × 2 - 1) × π
    -0.134979248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42404981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231338500976562 × 2 - 1) × π
    0.537322998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68804998322066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42404981} λ = -0.42404981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68804998322066))-π/2
    2×atan(5.40892292409152)-π/2
    2×1.38798089054221-π/2
    2.77596178108442-1.57079632675     		φ = 1.20516545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42404981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.296264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20516545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.050894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28345 KachelY 15161 -0.42404981 1.20516545 -24.296264 69.050894
    Oben rechts KachelX + 1 28346 KachelY 15161 -0.42395394 1.20516545 -24.290771 69.050894
    Unten links KachelX 28345 KachelY + 1 15162 -0.42404981 1.20513117 -24.296264 69.048930
    Unten rechts KachelX + 1 28346 KachelY + 1 15162 -0.42395394 1.20513117 -24.290771 69.048930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20516545-1.20513117) × R
    3.42799999999421e-05 × 6371000     		dl = 218.397879999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20516545-1.20513117) × R
    3.42799999999421e-05 × 6371000     		dr = 218.397879999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42404981--0.42395394) × cos(1.20516545) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.357538540408406 × 6371000     		do = 218.380167785227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42404981--0.42395394) × cos(1.20513117) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.357570554234937 × 6371000     		du = 218.399721438943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20516545)-sin(1.20513117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357538540408406-0.357570554234937)×R²
    abs(-0.42395394--0.42404981)×3.20138265310077e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.20138265310077e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.20138265310077e-05×40589641000000     		ar = 47695.9009212554m²