Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28345 / 14711
↖ ↑ ↗
← N 69.917101°
W 24.296264°		 ← 209.73 m → N 69.917101°
W 24.290771°		 →
↑
209.73 m
↓
↑
209.73 m
↓
N 69.915214°
W 24.296264°		 ← 209.75 m →
43 990 m²		 N 69.915214°
W 24.290771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432518005371094 y=0.224479675292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432518005371094 × 216)
    floor (0.432518005371094 × 65536)
    floor (28345.5)     		tx = 28345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224479675292969 × 216)
    floor (0.224479675292969 × 65536)
    floor (14711.5)     		ty = 14711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28345 / 14711 ti = "16/28345/14711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28345/14711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28345 ÷ 216
    28345 ÷ 65536     		x = 0.432510375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14711 ÷ 216
    14711 ÷ 65536     		y = 0.224472045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432510375976562 × 2 - 1) × π
    -0.134979248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42404981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224472045898438 × 2 - 1) × π
    0.551055908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73119319287871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42404981} λ = -0.42404981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73119319287871))-π/2
    2×atan(5.64738831342617)-π/2
    2×1.39553996838187-π/2
    2.79107993676373-1.57079632675     		φ = 1.22028361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42404981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.296264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22028361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.917101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28345 KachelY 14711 -0.42404981 1.22028361 -24.296264 69.917101
    Oben rechts KachelX + 1 28346 KachelY 14711 -0.42395394 1.22028361 -24.290771 69.917101
    Unten links KachelX 28345 KachelY + 1 14712 -0.42404981 1.22025069 -24.296264 69.915214
    Unten rechts KachelX + 1 28346 KachelY + 1 14712 -0.42395394 1.22025069 -24.290771 69.915214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22028361-1.22025069) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dl = 209.733319999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22028361-1.22025069) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dr = 209.733319999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42404981--0.42395394) × cos(1.22028361) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.343379394530662 × 6371000     		do = 209.73193464945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42404981--0.42395394) × cos(1.22025069) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.343410312702587 × 6371000     		du = 209.750819090733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22028361)-sin(1.22025069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343379394530662-0.343410312702587)×R²
    abs(-0.42395394--0.42404981)×3.09181719246876e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.09181719246876e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.09181719246876e-05×40589641000000     		ar = 43989.7553164427m²