Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28344 / 4663
↖ ↑ ↗
← N 77.936351°
E131.396484°		 ← 255.32 m → N 77.936351°
E131.407471°		 →
↑
255.35 m
↓
↑
255.35 m
↓
N 77.934055°
E131.396484°		 ← 255.37 m →
65 202 m²		 N 77.934055°
E131.407471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865005493164062 y=0.142318725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865005493164062 × 215)
    floor (0.865005493164062 × 32768)
    floor (28344.5)     		tx = 28344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142318725585938 × 215)
    floor (0.142318725585938 × 32768)
    floor (4663.5)     		ty = 4663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28344 / 4663 ti = "15/28344/4663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28344/4663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28344 ÷ 215
    28344 ÷ 32768     		x = 0.864990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4663 ÷ 215
    4663 ÷ 32768     		y = 0.142303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.864990234375 × 2 - 1) × π
    0.72998046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.29330128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142303466796875 × 2 - 1) × π
    0.71539306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24747360178671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29330128} λ = 2.29330128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24747360178671))-π/2
    2×atan(9.46379629063939)-π/2
    2×1.46552113402582-π/2
    2.93104226805164-1.57079632675     		φ = 1.36024594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29330128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.396484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36024594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.936351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28344 KachelY 4663 2.29330128 1.36024594 131.396484 77.936351
    Oben rechts KachelX + 1 28345 KachelY 4663 2.29349303 1.36024594 131.407471 77.936351
    Unten links KachelX 28344 KachelY + 1 4664 2.29330128 1.36020586 131.396484 77.934055
    Unten rechts KachelX + 1 28345 KachelY + 1 4664 2.29349303 1.36020586 131.407471 77.934055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36024594-1.36020586) × R
    4.00799999999979e-05 × 6371000     		dl = 255.349679999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36024594-1.36020586) × R
    4.00799999999979e-05 × 6371000     		dr = 255.349679999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29330128-2.29349303) × cos(1.36024594) × R
    0.000191749999999935 × 0.208998163545465 × 6371000     		do = 255.320359764973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29330128-2.29349303) × cos(1.36020586) × R
    0.000191749999999935 × 0.20903735825219 × 6371000     		du = 255.3682415571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36024594)-sin(1.36020586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208998163545465-0.20903735825219)×R²
    abs(2.29349303-2.29330128)×3.91947067248932e-05×R²
    0.000191749999999935×3.91947067248932e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.91947067248932e-05×40589641000000     		ar = 65202.0854727463m²