Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28343 / 14713
↖ ↑ ↗
← N 69.913328°
W 24.307251°		 ← 209.77 m → N 69.913328°
W 24.301758°		 →
↑
209.80 m
↓
↑
209.80 m
↓
N 69.911441°
W 24.307251°		 ← 209.79 m →
44 011 m²		 N 69.911441°
W 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432487487792969 y=0.224510192871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432487487792969 × 216)
    floor (0.432487487792969 × 65536)
    floor (28343.5)     		tx = 28343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224510192871094 × 216)
    floor (0.224510192871094 × 65536)
    floor (14713.5)     		ty = 14713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28343 / 14713 ti = "16/28343/14713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28343/14713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28343 ÷ 216
    28343 ÷ 65536     		x = 0.432479858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14713 ÷ 216
    14713 ÷ 65536     		y = 0.224502563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432479858398438 × 2 - 1) × π
    -0.135040283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42424156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224502563476562 × 2 - 1) × π
    0.550994873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.73100144528023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42424156} λ = -0.42424156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73100144528023))-π/2
    2×atan(5.64630554409191)-π/2
    2×1.39550704433022-π/2
    2.79101408866043-1.57079632675     		φ = 1.22021776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42424156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.307251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22021776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.913328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28343 KachelY 14713 -0.42424156 1.22021776 -24.307251 69.913328
    Oben rechts KachelX + 1 28344 KachelY 14713 -0.42414569 1.22021776 -24.301758 69.913328
    Unten links KachelX 28343 KachelY + 1 14714 -0.42424156 1.22018483 -24.307251 69.911441
    Unten rechts KachelX + 1 28344 KachelY + 1 14714 -0.42414569 1.22018483 -24.301758 69.911441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22021776-1.22018483) × R
    3.29299999999311e-05 × 6371000     		dl = 209.797029999561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22021776-1.22018483) × R
    3.29299999999311e-05 × 6371000     		dr = 209.797029999561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42424156--0.42414569) × cos(1.22021776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343441239894091 × 6371000     		do = 209.769709040942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42424156--0.42414569) × cos(1.22018483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343472166713172 × 6371000     		du = 209.788598763802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22021776)-sin(1.22018483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343441239894091-0.343472166713172)×R²
    abs(-0.42414569--0.42424156)×3.09268190810119e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09268190810119e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09268190810119e-05×40589641000000     		ar = 44011.0434486387m²