Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28341 / 21974
↖ ↑ ↗
← N 50.882243°
W 24.318237°		 ← 385.36 m → N 50.882243°
W 24.312744°		 →
↑
385.38 m
↓
↑
385.38 m
↓
N 50.878777°
W 24.318237°		 ← 385.38 m →
148 515 m²		 N 50.878777°
W 24.312744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432456970214844 y=0.335304260253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432456970214844 × 216)
    floor (0.432456970214844 × 65536)
    floor (28341.5)     		tx = 28341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335304260253906 × 216)
    floor (0.335304260253906 × 65536)
    floor (21974.5)     		ty = 21974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28341 / 21974 ti = "16/28341/21974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28341/21974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28341 ÷ 216
    28341 ÷ 65536     		x = 0.432449340820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21974 ÷ 216
    21974 ÷ 65536     		y = 0.335296630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432449340820312 × 2 - 1) × π
    -0.135101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42443331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335296630859375 × 2 - 1) × π
    0.32940673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03486178899777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42443331} λ = -0.42443331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03486178899777))-π/2
    2×atan(2.8147171838561)-π/2
    2×1.22942949993291-π/2
    2.45885899986583-1.57079632675     		φ = 0.88806267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42443331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.318237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88806267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.882243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28341 KachelY 21974 -0.42443331 0.88806267 -24.318237 50.882243
    Oben rechts KachelX + 1 28342 KachelY 21974 -0.42433744 0.88806267 -24.312744 50.882243
    Unten links KachelX 28341 KachelY + 1 21975 -0.42443331 0.88800218 -24.318237 50.878777
    Unten rechts KachelX + 1 28342 KachelY + 1 21975 -0.42433744 0.88800218 -24.312744 50.878777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88806267-0.88800218) × R
    6.04900000000796e-05 × 6371000     		dl = 385.381790000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88806267-0.88800218) × R
    6.04900000000796e-05 × 6371000     		dr = 385.381790000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42443331--0.42433744) × cos(0.88806267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630916288871418 × 6371000     		do = 385.355953136441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42443331--0.42433744) × cos(0.88800218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630963218938735 × 6371000     		du = 385.384617447603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88806267)-sin(0.88800218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630916288871418-0.630963218938735)×R²
    abs(-0.42433744--0.42443331)×4.69300673170414e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69300673170414e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69300673170414e-05×40589641000000     		ar = 148514.690404278m²