Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28340 / 8267
↖ ↑ ↗
← N 79.093660°
W 24.323730°		 ← 115.56 m → N 79.093660°
W 24.318237°		 →
↑
115.57 m
↓
↑
115.57 m
↓
N 79.092620°
W 24.323730°		 ← 115.57 m →
13 356 m²		 N 79.092620°
W 24.318237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432441711425781 y=0.126152038574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432441711425781 × 216)
    floor (0.432441711425781 × 65536)
    floor (28340.5)     		tx = 28340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126152038574219 × 216)
    floor (0.126152038574219 × 65536)
    floor (8267.5)     		ty = 8267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28340 / 8267 ti = "16/28340/8267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28340/8267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28340 ÷ 216
    28340 ÷ 65536     		x = 0.43243408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8267 ÷ 216
    8267 ÷ 65536     		y = 0.126144409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43243408203125 × 2 - 1) × π
    -0.1351318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42452918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126144409179688 × 2 - 1) × π
    0.747711181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34900395518199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42452918} λ = -0.42452918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34900395518199))-π/2
    2×atan(10.4751308270074)-π/2
    2×1.47562055139232-π/2
    2.95124110278465-1.57079632675     		φ = 1.38044478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42452918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.323730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38044478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.093660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28340 KachelY 8267 -0.42452918 1.38044478 -24.323730 79.093660
    Oben rechts KachelX + 1 28341 KachelY 8267 -0.42443331 1.38044478 -24.318237 79.093660
    Unten links KachelX 28340 KachelY + 1 8268 -0.42452918 1.38042664 -24.323730 79.092620
    Unten rechts KachelX + 1 28341 KachelY + 1 8268 -0.42443331 1.38042664 -24.318237 79.092620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38044478-1.38042664) × R
    1.81399999998888e-05 × 6371000     		dl = 115.569939999292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38044478-1.38042664) × R
    1.81399999998888e-05 × 6371000     		dr = 115.569939999292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42452918--0.42443331) × cos(1.38044478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189204103740743 × 6371000     		do = 115.563552598655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42452918--0.42443331) × cos(1.38042664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189221916060972 × 6371000     		du = 115.574432146006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38044478)-sin(1.38042664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189204103740743-0.189221916060972)×R²
    abs(-0.42443331--0.42452918)×1.7812320229238e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7812320229238e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7812320229238e-05×40589641000000     		ar = 13356.3015146587m²