Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28340 / 22353
↖ ↑ ↗
← N 49.550162°
W 24.323730°		 ← 396.27 m → N 49.550162°
W 24.318237°		 →
↑
396.34 m
↓
↑
396.34 m
↓
N 49.546598°
W 24.323730°		 ← 396.30 m →
157 063 m²		 N 49.546598°
W 24.318237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432441711425781 y=0.341087341308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432441711425781 × 216)
    floor (0.432441711425781 × 65536)
    floor (28340.5)     		tx = 28340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341087341308594 × 216)
    floor (0.341087341308594 × 65536)
    floor (22353.5)     		ty = 22353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28340 / 22353 ti = "16/28340/22353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28340/22353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28340 ÷ 216
    28340 ÷ 65536     		x = 0.43243408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22353 ÷ 216
    22353 ÷ 65536     		y = 0.341079711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43243408203125 × 2 - 1) × π
    -0.1351318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42452918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341079711914062 × 2 - 1) × π
    0.317840576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.99852561908577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42452918} λ = -0.42452918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99852561908577))-π/2
    2×atan(2.71427699865945)-π/2
    2×1.21780489734141-π/2
    2.43560979468283-1.57079632675     		φ = 0.86481347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42452918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.323730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86481347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.550162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28340 KachelY 22353 -0.42452918 0.86481347 -24.323730 49.550162
    Oben rechts KachelX + 1 28341 KachelY 22353 -0.42443331 0.86481347 -24.318237 49.550162
    Unten links KachelX 28340 KachelY + 1 22354 -0.42452918 0.86475126 -24.323730 49.546598
    Unten rechts KachelX + 1 28341 KachelY + 1 22354 -0.42443331 0.86475126 -24.318237 49.546598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86481347-0.86475126) × R
    6.22099999999515e-05 × 6371000     		dl = 396.339909999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86481347-0.86475126) × R
    6.22099999999515e-05 × 6371000     		dr = 396.339909999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42452918--0.42443331) × cos(0.86481347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648782071501072 × 6371000     		do = 396.268154668112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42452918--0.42443331) × cos(0.86475126) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648829410454308 × 6371000     		du = 396.297068721793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86481347)-sin(0.86475126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648782071501072-0.648829410454308)×R²
    abs(-0.42443331--0.42452918)×4.73389532354984e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73389532354984e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73389532354984e-05×40589641000000     		ar = 157062.614703963m²