Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28340 / 22351
↖ ↑ ↗
← N 49.557289°
W 24.323730°		 ← 396.21 m → N 49.557289°
W 24.318237°		 →
↑
396.21 m
↓
↑
396.21 m
↓
N 49.553726°
W 24.323730°		 ← 396.24 m →
156 989 m²		 N 49.553726°
W 24.318237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432441711425781 y=0.341056823730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432441711425781 × 216)
    floor (0.432441711425781 × 65536)
    floor (28340.5)     		tx = 28340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341056823730469 × 216)
    floor (0.341056823730469 × 65536)
    floor (22351.5)     		ty = 22351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28340 / 22351 ti = "16/28340/22351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28340/22351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28340 ÷ 216
    28340 ÷ 65536     		x = 0.43243408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22351 ÷ 216
    22351 ÷ 65536     		y = 0.341049194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43243408203125 × 2 - 1) × π
    -0.1351318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42452918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341049194335938 × 2 - 1) × π
    0.317901611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.99871736668425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42452918} λ = -0.42452918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99871736668425))-π/2
    2×atan(2.71479750465685)-π/2
    2×1.21786709400566-π/2
    2.43573418801132-1.57079632675     		φ = 0.86493786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42452918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.323730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86493786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.557289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28340 KachelY 22351 -0.42452918 0.86493786 -24.323730 49.557289
    Oben rechts KachelX + 1 28341 KachelY 22351 -0.42443331 0.86493786 -24.318237 49.557289
    Unten links KachelX 28340 KachelY + 1 22352 -0.42452918 0.86487567 -24.323730 49.553726
    Unten rechts KachelX + 1 28341 KachelY + 1 22352 -0.42443331 0.86487567 -24.318237 49.553726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86493786-0.86487567) × R
    6.2189999999962e-05 × 6371000     		dl = 396.212489999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86493786-0.86487567) × R
    6.2189999999962e-05 × 6371000     		dr = 396.212489999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42452918--0.42443331) × cos(0.86493786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64868740889391 × 6371000     		do = 396.210335905381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42452918--0.42443331) × cos(0.86487567) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648734737647142 × 6371000     		du = 396.239243729024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86493786)-sin(0.86487567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64868740889391-0.648734737647142)×R²
    abs(-0.42443331--0.42452918)×4.73287532318789e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73287532318789e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73287532318789e-05×40589641000000     		ar = 156989.210623806m²