Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28340 / 21976
↖ ↑ ↗
← N 50.875311°
W 24.323730°		 ← 385.41 m → N 50.875311°
W 24.318237°		 →
↑
385.45 m
↓
↑
385.45 m
↓
N 50.871845°
W 24.323730°		 ← 385.44 m →
148 561 m²		 N 50.871845°
W 24.318237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432441711425781 y=0.335334777832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432441711425781 × 216)
    floor (0.432441711425781 × 65536)
    floor (28340.5)     		tx = 28340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335334777832031 × 216)
    floor (0.335334777832031 × 65536)
    floor (21976.5)     		ty = 21976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28340 / 21976 ti = "16/28340/21976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28340/21976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28340 ÷ 216
    28340 ÷ 65536     		x = 0.43243408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21976 ÷ 216
    21976 ÷ 65536     		y = 0.3353271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43243408203125 × 2 - 1) × π
    -0.1351318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42452918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3353271484375 × 2 - 1) × π
    0.329345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03467004139929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42452918} λ = -0.42452918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03467004139929))-π/2
    2×atan(2.81417752033694)-π/2
    2×1.2293690070921-π/2
    2.4587380141842-1.57079632675     		φ = 0.88794169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42452918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.323730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88794169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.875311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28340 KachelY 21976 -0.42452918 0.88794169 -24.323730 50.875311
    Oben rechts KachelX + 1 28341 KachelY 21976 -0.42443331 0.88794169 -24.318237 50.875311
    Unten links KachelX 28340 KachelY + 1 21977 -0.42452918 0.88788119 -24.323730 50.871845
    Unten rechts KachelX + 1 28341 KachelY + 1 21977 -0.42443331 0.88788119 -24.318237 50.871845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88794169-0.88788119) × R
    6.05000000000189e-05 × 6371000     		dl = 385.44550000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88794169-0.88788119) × R
    6.05000000000189e-05 × 6371000     		dr = 385.44550000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42452918--0.42443331) × cos(0.88794169) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.631010146697332 × 6371000     		do = 385.413280348628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42452918--0.42443331) × cos(0.88788119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.631057079904402 × 6371000     		du = 385.441946577513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88794169)-sin(0.88788119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631010146697332-0.631057079904402)×R²
    abs(-0.42443331--0.42452918)×4.69332070698325e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69332070698325e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69332070698325e-05×40589641000000     		ar = 148561.339230388m²