Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2834 / 5944
↖ ↑ ↗
← S 62.754726°
W 55.458985°		 ← 2 237.04 m → S 62.754726°
W 55.415039°		 →
↑
2 236.28 m
↓
↑
2 236.28 m
↓
S 62.774837°
W 55.458985°		 ← 2 235.51 m →
5 000 952 m²		 S 62.774837°
W 55.415039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34600830078125 y=0.72564697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34600830078125 × 213)
    floor (0.34600830078125 × 8192)
    floor (2834.5)     		tx = 2834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72564697265625 × 213)
    floor (0.72564697265625 × 8192)
    floor (5944.5)     		ty = 5944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2834 / 5944 ti = "13/2834/5944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2834/5944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2834 ÷ 213
    2834 ÷ 8192     		x = 0.345947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5944 ÷ 213
    5944 ÷ 8192     		y = 0.7255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345947265625 × 2 - 1) × π
    -0.30810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96794188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7255859375 × 2 - 1) × π
    -0.451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41739824796582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96794188} λ = -0.96794188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41739824796582))-π/2
    2×atan(0.242343715636968)-π/2
    2×0.237759869098299-π/2
    0.475519738196597-1.57079632675     		φ = -1.09527659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96794188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.458985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09527659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.754726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2834 KachelY 5944 -0.96794188 -1.09527659 -55.458985 -62.754726
    Oben rechts KachelX + 1 2835 KachelY 5944 -0.96717489 -1.09527659 -55.415039 -62.754726
    Unten links KachelX 2834 KachelY + 1 5945 -0.96794188 -1.09562760 -55.458985 -62.774837
    Unten rechts KachelX + 1 2835 KachelY + 1 5945 -0.96717489 -1.09562760 -55.415039 -62.774837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09527659--1.09562760) × R
    0.000351009999999929 × 6371000     		dl = 2236.28470999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09527659--1.09562760) × R
    0.000351009999999929 × 6371000     		dr = 2236.28470999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96794188--0.96717489) × cos(-1.09527659) × R
    0.000766990000000023 × 0.45780058353743 × 6371000     		do = 2237.0394796138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96794188--0.96717489) × cos(-1.09562760) × R
    0.000766990000000023 × 0.457488488178965 × 6371000     		du = 2235.51442773882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09527659)-sin(-1.09562760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45780058353743-0.457488488178965)×R²
    abs(-0.96717489--0.96794188)×0.000312095358464715×R²
    0.000766990000000023×0.000312095358464715×6371000²
    0.000766990000000023×0.000312095358464715×40589641000000     		ar = 5000952.01017575m²