Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2834 / 1299
↖ ↑ ↗
← N 54.826008°
E 69.082031°		 ← 5 629.84 m → N 54.826008°
E 69.169922°		 →
↑
5 633.43 m
↓
↑
5 633.43 m
↓
N 54.775346°
E 69.082031°		 ← 5 636.90 m →
31 735 196 m²		 N 54.775346°
E 69.169922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6920166015625 y=0.3172607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6920166015625 × 212)
    floor (0.6920166015625 × 4096)
    floor (2834.5)     		tx = 2834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3172607421875 × 212)
    floor (0.3172607421875 × 4096)
    floor (1299.5)     		ty = 1299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2834 / 1299 ti = "12/2834/1299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2834/1299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2834 ÷ 212
    2834 ÷ 4096     		x = 0.69189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1299 ÷ 212
    1299 ÷ 4096     		y = 0.317138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69189453125 × 2 - 1) × π
    0.3837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.20570890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317138671875 × 2 - 1) × π
    0.36572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14895161009351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20570890} λ = 1.20570890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14895161009351))-π/2
    2×atan(3.15488362713281)-π/2
    2×1.26384534104247-π/2
    2.52769068208493-1.57079632675     		φ = 0.95689436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20570890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95689436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.826008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2834 KachelY 1299 1.20570890 0.95689436 69.082031 54.826008
    Oben rechts KachelX + 1 2835 KachelY 1299 1.20724288 0.95689436 69.169922 54.826008
    Unten links KachelX 2834 KachelY + 1 1300 1.20570890 0.95601013 69.082031 54.775346
    Unten rechts KachelX + 1 2835 KachelY + 1 1300 1.20724288 0.95601013 69.169922 54.775346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95689436-0.95601013) × R
    0.000884230000000041 × 6371000     		dl = 5633.42933000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95689436-0.95601013) × R
    0.000884230000000041 × 6371000     		dr = 5633.42933000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20570890-1.20724288) × cos(0.95689436) × R
    0.00153397999999982 × 0.576061330287118 × 6371000     		do = 5629.83965015231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20570890-1.20724288) × cos(0.95601013) × R
    0.00153397999999982 × 0.576783880319027 × 6371000     		du = 5636.90112191753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95689436)-sin(0.95601013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576061330287118-0.576783880319027)×R²
    abs(1.20724288-1.20570890)×0.000722550031908797×R²
    0.00153397999999982×0.000722550031908797×6371000²
    0.00153397999999982×0.000722550031908797×40589641000000     		ar = 31735196.0271564m²