Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28339 / 4661
↖ ↑ ↗
← N 77.940943°
E131.341553°		 ← 255.22 m → N 77.940943°
E131.352539°		 →
↑
255.29 m
↓
↑
255.29 m
↓
N 77.938647°
E131.341553°		 ← 255.27 m →
65 161 m²		 N 77.938647°
E131.352539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.864852905273438 y=0.142257690429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.864852905273438 × 215)
    floor (0.864852905273438 × 32768)
    floor (28339.5)     		tx = 28339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142257690429688 × 215)
    floor (0.142257690429688 × 32768)
    floor (4661.5)     		ty = 4661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28339 / 4661 ti = "15/28339/4661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28339/4661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28339 ÷ 215
    28339 ÷ 32768     		x = 0.864837646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4661 ÷ 215
    4661 ÷ 32768     		y = 0.142242431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.864837646484375 × 2 - 1) × π
    0.72967529296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.29234254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142242431640625 × 2 - 1) × π
    0.71551513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24785709698367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29234254} λ = 2.29234254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24785709698367))-π/2
    2×atan(9.46742630706431)-π/2
    2×1.46556120140786-π/2
    2.93112240281572-1.57079632675     		φ = 1.36032608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29234254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.341553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36032608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.940943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28339 KachelY 4661 2.29234254 1.36032608 131.341553 77.940943
    Oben rechts KachelX + 1 28340 KachelY 4661 2.29253429 1.36032608 131.352539 77.940943
    Unten links KachelX 28339 KachelY + 1 4662 2.29234254 1.36028601 131.341553 77.938647
    Unten rechts KachelX + 1 28340 KachelY + 1 4662 2.29253429 1.36028601 131.352539 77.938647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36032608-1.36028601) × R
    4.00700000000587e-05 × 6371000     		dl = 255.285970000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36032608-1.36028601) × R
    4.00700000000587e-05 × 6371000     		dr = 255.285970000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29234254-2.29253429) × cos(1.36032608) × R
    0.000191749999999935 × 0.208919792683526 × 6371000     		do = 255.224618843972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29234254-2.29253429) × cos(1.36028601) × R
    0.000191749999999935 × 0.208958978282248 × 6371000     		du = 255.272489509406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36032608)-sin(1.36028601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208919792683526-0.208958978282248)×R²
    abs(2.29253429-2.29234254)×3.91855987224299e-05×R²
    0.000191749999999935×3.91855987224299e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.91855987224299e-05×40589641000000     		ar = 65161.3747529897m²