Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28338 / 4662
↖ ↑ ↗
← N 77.938647°
E131.330566°		 ← 255.27 m → N 77.938647°
E131.341553°		 →
↑
255.29 m
↓
↑
255.29 m
↓
N 77.936351°
E131.330566°		 ← 255.32 m →
65 174 m²		 N 77.936351°
E131.341553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.864822387695312 y=0.142288208007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.864822387695312 × 215)
    floor (0.864822387695312 × 32768)
    floor (28338.5)     		tx = 28338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142288208007812 × 215)
    floor (0.142288208007812 × 32768)
    floor (4662.5)     		ty = 4662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28338 / 4662 ti = "15/28338/4662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28338/4662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28338 ÷ 215
    28338 ÷ 32768     		x = 0.86480712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4662 ÷ 215
    4662 ÷ 32768     		y = 0.14227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86480712890625 × 2 - 1) × π
    0.7296142578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.29215079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14227294921875 × 2 - 1) × π
    0.7154541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24766534938519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29215079} λ = 2.29215079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24766534938519))-π/2
    2×atan(9.46561112484012)-π/2
    2×1.46554116959514-π/2
    2.93108233919029-1.57079632675     		φ = 1.36028601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29215079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.330566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36028601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.938647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28338 KachelY 4662 2.29215079 1.36028601 131.330566 77.938647
    Oben rechts KachelX + 1 28339 KachelY 4662 2.29234254 1.36028601 131.341553 77.938647
    Unten links KachelX 28338 KachelY + 1 4663 2.29215079 1.36024594 131.330566 77.936351
    Unten rechts KachelX + 1 28339 KachelY + 1 4663 2.29234254 1.36024594 131.341553 77.936351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36028601-1.36024594) × R
    4.00700000000587e-05 × 6371000     		dl = 255.285970000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36028601-1.36024594) × R
    4.00700000000587e-05 × 6371000     		dr = 255.285970000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29215079-2.29234254) × cos(1.36028601) × R
    0.000191749999999935 × 0.208958978282248 × 6371000     		do = 255.272489509406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29215079-2.29234254) × cos(1.36024594) × R
    0.000191749999999935 × 0.208998163545465 × 6371000     		du = 255.320359764973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36028601)-sin(1.36024594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208958978282248-0.208998163545465)×R²
    abs(2.29234254-2.29215079)×3.91852632168621e-05×R²
    0.000191749999999935×3.91852632168621e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.91852632168621e-05×40589641000000     		ar = 65173.5954099727m²