Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28338 / 42966
↖ ↑ ↗
← S 48.770672°
W 24.334717°		 ← 402.55 m → S 48.770672°
W 24.329224°		 →
↑
402.58 m
↓
↑
402.58 m
↓
S 48.774293°
W 24.334717°		 ← 402.53 m →
162 056 m²		 S 48.774293°
W 24.329224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432411193847656 y=0.655616760253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432411193847656 × 216)
    floor (0.432411193847656 × 65536)
    floor (28338.5)     		tx = 28338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655616760253906 × 216)
    floor (0.655616760253906 × 65536)
    floor (42966.5)     		ty = 42966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28338 / 42966 ti = "16/28338/42966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28338/42966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28338 ÷ 216
    28338 ÷ 65536     		x = 0.432403564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42966 ÷ 216
    42966 ÷ 65536     		y = 0.655609130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432403564453125 × 2 - 1) × π
    -0.13519287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42472093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655609130859375 × 2 - 1) × π
    -0.31121826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.977721004650665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42472093} λ = -0.42472093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977721004650665))-π/2
    2×atan(0.376167406490173)-π/2
    2×0.359793756910457-π/2
    0.719587513820914-1.57079632675     		φ = -0.85120881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42472093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.334717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85120881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.770672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28338 KachelY 42966 -0.42472093 -0.85120881 -24.334717 -48.770672
    Oben rechts KachelX + 1 28339 KachelY 42966 -0.42462506 -0.85120881 -24.329224 -48.770672
    Unten links KachelX 28338 KachelY + 1 42967 -0.42472093 -0.85127200 -24.334717 -48.774293
    Unten rechts KachelX + 1 28339 KachelY + 1 42967 -0.42462506 -0.85127200 -24.329224 -48.774293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85120881--0.85127200) × R
    6.31899999999908e-05 × 6371000     		dl = 402.583489999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85120881--0.85127200) × R
    6.31899999999908e-05 × 6371000     		dr = 402.583489999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42472093--0.42462506) × cos(-0.85120881) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.659074508648853 × 6371000     		do = 402.55464940147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42472093--0.42462506) × cos(-0.85127200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.659026983546329 × 6371000     		du = 402.52562165008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85120881)-sin(-0.85127200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659074508648853-0.659026983546329)×R²
    abs(-0.42462506--0.42472093)×4.75251025239265e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75251025239265e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75251025239265e-05×40589641000000     		ar = 162056.012678874m²