Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28338 / 22259
↖ ↑ ↗
← N 49.884017°
W 24.334717°		 ← 393.55 m → N 49.884017°
W 24.329224°		 →
↑
393.54 m
↓
↑
393.54 m
↓
N 49.880478°
W 24.334717°		 ← 393.58 m →
154 883 m²		 N 49.880478°
W 24.329224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432411193847656 y=0.339653015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432411193847656 × 216)
    floor (0.432411193847656 × 65536)
    floor (28338.5)     		tx = 28338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339653015136719 × 216)
    floor (0.339653015136719 × 65536)
    floor (22259.5)     		ty = 22259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28338 / 22259 ti = "16/28338/22259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28338/22259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28338 ÷ 216
    28338 ÷ 65536     		x = 0.432403564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22259 ÷ 216
    22259 ÷ 65536     		y = 0.339645385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432403564453125 × 2 - 1) × π
    -0.13519287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42472093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339645385742188 × 2 - 1) × π
    0.320709228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00753775621434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42472093} λ = -0.42472093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00753775621434))-π/2
    2×atan(2.73884899195446)-π/2
    2×1.22071833566942-π/2
    2.44143667133883-1.57079632675     		φ = 0.87064034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42472093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.334717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87064034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.884017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28338 KachelY 22259 -0.42472093 0.87064034 -24.334717 49.884017
    Oben rechts KachelX + 1 28339 KachelY 22259 -0.42462506 0.87064034 -24.329224 49.884017
    Unten links KachelX 28338 KachelY + 1 22260 -0.42472093 0.87057857 -24.334717 49.880478
    Unten rechts KachelX + 1 28339 KachelY + 1 22260 -0.42462506 0.87057857 -24.329224 49.880478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87064034-0.87057857) × R
    6.1769999999961e-05 × 6371000     		dl = 393.536669999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87064034-0.87057857) × R
    6.1769999999961e-05 × 6371000     		dr = 393.536669999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42472093--0.42462506) × cos(0.87064034) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64433698468109 × 6371000     		do = 393.553150001878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42472093--0.42462506) × cos(0.87057857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644384221545915 × 6371000     		du = 393.582001701207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87064034)-sin(0.87057857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64433698468109-0.644384221545915)×R²
    abs(-0.42462506--0.42472093)×4.72368648257726e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72368648257726e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72368648257726e-05×40589641000000     		ar = 154883.273269819m²