Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28337 / 22035
↖ ↑ ↗
← N 50.670354°
W 24.340210°		 ← 387.11 m → N 50.670354°
W 24.334717°		 →
↑
387.17 m
↓
↑
387.17 m
↓
N 50.666872°
W 24.340210°		 ← 387.13 m →
149 880 m²		 N 50.666872°
W 24.334717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432395935058594 y=0.336235046386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432395935058594 × 216)
    floor (0.432395935058594 × 65536)
    floor (28337.5)     		tx = 28337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336235046386719 × 216)
    floor (0.336235046386719 × 65536)
    floor (22035.5)     		ty = 22035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28337 / 22035 ti = "16/28337/22035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28337/22035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28337 ÷ 216
    28337 ÷ 65536     		x = 0.432388305664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22035 ÷ 216
    22035 ÷ 65536     		y = 0.336227416992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432388305664062 × 2 - 1) × π
    -0.135223388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42481680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336227416992188 × 2 - 1) × π
    0.327545166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02901348724413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42481680} λ = -0.42481680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02901348724413))-π/2
    2×atan(2.79830391008403)-π/2
    2×1.22758041787154-π/2
    2.45516083574307-1.57079632675     		φ = 0.88436451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42481680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.340210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88436451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.670354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28337 KachelY 22035 -0.42481680 0.88436451 -24.340210 50.670354
    Oben rechts KachelX + 1 28338 KachelY 22035 -0.42472093 0.88436451 -24.334717 50.670354
    Unten links KachelX 28337 KachelY + 1 22036 -0.42481680 0.88430374 -24.340210 50.666872
    Unten rechts KachelX + 1 28338 KachelY + 1 22036 -0.42472093 0.88430374 -24.334717 50.666872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88436451-0.88430374) × R
    6.07700000000433e-05 × 6371000     		dl = 387.165670000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88436451-0.88430374) × R
    6.07700000000433e-05 × 6371000     		dr = 387.165670000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42481680--0.42472093) × cos(0.88436451) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.633781188814284 × 6371000     		do = 387.105798983817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42481680--0.42472093) × cos(0.88430374) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.633828193991419 × 6371000     		du = 387.134509171138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88436451)-sin(0.88430374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633781188814284-0.633828193991419)×R²
    abs(-0.42472093--0.42481680)×4.70051771347402e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70051771347402e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70051771347402e-05×40589641000000     		ar = 149879.633870037m²