Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28336 / 22256
↖ ↑ ↗
← N 49.894634°
W 24.345703°		 ← 393.51 m → N 49.894634°
W 24.340210°		 →
↑
393.47 m
↓
↑
393.47 m
↓
N 49.891096°
W 24.345703°		 ← 393.54 m →
154 840 m²		 N 49.891096°
W 24.340210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432380676269531 y=0.339607238769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432380676269531 × 216)
    floor (0.432380676269531 × 65536)
    floor (28336.5)     		tx = 28336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339607238769531 × 216)
    floor (0.339607238769531 × 65536)
    floor (22256.5)     		ty = 22256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28336 / 22256 ti = "16/28336/22256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28336/22256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28336 ÷ 216
    28336 ÷ 65536     		x = 0.432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22256 ÷ 216
    22256 ÷ 65536     		y = 0.339599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339599609375 × 2 - 1) × π
    0.32080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00782537761206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42491268} λ = -0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00782537761206))-π/2
    2×atan(2.73963685682764)-π/2
    2×1.22081098803036-π/2
    2.44162197606071-1.57079632675     		φ = 0.87082565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87082565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.894634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28336 KachelY 22256 -0.42491268 0.87082565 -24.345703 49.894634
    Oben rechts KachelX + 1 28337 KachelY 22256 -0.42481680 0.87082565 -24.340210 49.894634
    Unten links KachelX 28336 KachelY + 1 22257 -0.42491268 0.87076389 -24.345703 49.891096
    Unten rechts KachelX + 1 28337 KachelY + 1 22257 -0.42481680 0.87076389 -24.340210 49.891096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87082565-0.87076389) × R
    6.17600000000218e-05 × 6371000     		dl = 393.472960000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87082565-0.87076389) × R
    6.17600000000218e-05 × 6371000     		dr = 393.472960000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42491268--0.42481680) × cos(0.87082565) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.644195259336399 × 6371000     		do = 393.507627574593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42491268--0.42481680) × cos(0.87076389) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.644242495927938 × 6371000     		du = 393.536482116445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87082565)-sin(0.87076389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644195259336399-0.644242495927938)×R²
    abs(-0.42481680--0.42491268)×4.7236591539046e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7236591539046e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7236591539046e-05×40589641000000     		ar = 154840.287794505m²