Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2833 / 5957
↖ ↑ ↗
← S 63.015106°
W 55.502930°		 ← 2 217.27 m → S 63.015106°
W 55.458985°		 →
↑
2 216.53 m
↓
↑
2 216.53 m
↓
S 63.035039°
W 55.502930°		 ← 2 215.76 m →
4 912 985 m²		 S 63.035039°
W 55.458985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34588623046875 y=0.72723388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34588623046875 × 213)
    floor (0.34588623046875 × 8192)
    floor (2833.5)     		tx = 2833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72723388671875 × 213)
    floor (0.72723388671875 × 8192)
    floor (5957.5)     		ty = 5957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2833 / 5957 ti = "13/2833/5957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2833/5957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2833 ÷ 213
    2833 ÷ 8192     		x = 0.3458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5957 ÷ 213
    5957 ÷ 8192     		y = 0.7271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.308349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96870887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.454345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42736912308679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96870887} λ = -0.96870887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42736912308679))-π/2
    2×atan(0.239939343479125)-π/2
    2×0.235487626942743-π/2
    0.470975253885486-1.57079632675     		φ = -1.09982107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96870887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.502930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09982107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.015106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2833 KachelY 5957 -0.96870887 -1.09982107 -55.502930 -63.015106
    Oben rechts KachelX + 1 2834 KachelY 5957 -0.96794188 -1.09982107 -55.458985 -63.015106
    Unten links KachelX 2833 KachelY + 1 5958 -0.96870887 -1.10016898 -55.502930 -63.035039
    Unten rechts KachelX + 1 2834 KachelY + 1 5958 -0.96794188 -1.10016898 -55.458985 -63.035039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09982107--1.10016898) × R
    0.000347910000000118 × 6371000     		dl = 2216.53461000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09982107--1.10016898) × R
    0.000347910000000118 × 6371000     		dr = 2216.53461000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96870887--0.96794188) × cos(-1.09982107) × R
    0.000766990000000023 × 0.453755577896508 × 6371000     		do = 2217.27358669143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96870887--0.96794188) × cos(-1.10016898) × R
    0.000766990000000023 × 0.453445518730545 × 6371000     		du = 2215.75848465744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09982107)-sin(-1.10016898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453755577896508-0.453445518730545)×R²
    abs(-0.96794188--0.96870887)×0.000310059165963605×R²
    0.000766990000000023×0.000310059165963605×6371000²
    0.000766990000000023×0.000310059165963605×40589641000000     		ar = 4912984.55624719m²