Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28329 / 4645
↖ ↑ ↗
← N 77.977612°
E131.231689°		 ← 254.46 m → N 77.977612°
E131.242676°		 →
↑
254.46 m
↓
↑
254.46 m
↓
N 77.975323°
E131.231689°		 ← 254.51 m →
64 755 m²		 N 77.975323°
E131.242676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.864547729492188 y=0.141769409179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.864547729492188 × 215)
    floor (0.864547729492188 × 32768)
    floor (28329.5)     		tx = 28329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141769409179688 × 215)
    floor (0.141769409179688 × 32768)
    floor (4645.5)     		ty = 4645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28329 / 4645 ti = "15/28329/4645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28329/4645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28329 ÷ 215
    28329 ÷ 32768     		x = 0.864532470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4645 ÷ 215
    4645 ÷ 32768     		y = 0.141754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.864532470703125 × 2 - 1) × π
    0.72906494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.29042506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141754150390625 × 2 - 1) × π
    0.71649169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25092505855936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29042506} λ = 2.29042506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25092505855936))-π/2
    2×atan(9.49651660834084)-π/2
    2×1.46588120006046-π/2
    2.93176240012092-1.57079632675     		φ = 1.36096607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29042506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.231689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36096607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.977612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28329 KachelY 4645 2.29042506 1.36096607 131.231689 77.977612
    Oben rechts KachelX + 1 28330 KachelY 4645 2.29061681 1.36096607 131.242676 77.977612
    Unten links KachelX 28329 KachelY + 1 4646 2.29042506 1.36092613 131.231689 77.975323
    Unten rechts KachelX + 1 28330 KachelY + 1 4646 2.29061681 1.36092613 131.242676 77.975323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36096607-1.36092613) × R
    3.99399999999606e-05 × 6371000     		dl = 254.457739999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36096607-1.36092613) × R
    3.99399999999606e-05 × 6371000     		dr = 254.457739999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29042506-2.29061681) × cos(1.36096607) × R
    0.000191749999999935 × 0.208293882741589 × 6371000     		do = 254.459982691937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29042506-2.29061681) × cos(1.36092613) × R
    0.000191749999999935 × 0.208332946542878 × 6371000     		du = 254.507704564845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36096607)-sin(1.36092613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208293882741589-0.208332946542878)×R²
    abs(2.29061681-2.29042506)×3.90638012883193e-05×R²
    0.000191749999999935×3.90638012883193e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.90638012883193e-05×40589641000000     		ar = 64755.3837250628m²