Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28321 / 14624
↖ ↑ ↗
← N 70.080562°
W 24.428101°		 ← 208.12 m → N 70.080562°
W 24.422607°		 →
↑
208.08 m
↓
↑
208.08 m
↓
N 70.078691°
W 24.428101°		 ← 208.13 m →
43 306 m²		 N 70.078691°
W 24.422607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432151794433594 y=0.223152160644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432151794433594 × 216)
    floor (0.432151794433594 × 65536)
    floor (28321.5)     		tx = 28321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223152160644531 × 216)
    floor (0.223152160644531 × 65536)
    floor (14624.5)     		ty = 14624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28321 / 14624 ti = "16/28321/14624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28321/14624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28321 ÷ 216
    28321 ÷ 65536     		x = 0.432144165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14624 ÷ 216
    14624 ÷ 65536     		y = 0.22314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432144165039062 × 2 - 1) × π
    -0.135711669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42635079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22314453125 × 2 - 1) × π
    0.5537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7395342134126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42635079} λ = -0.42635079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7395342134126))-π/2
    2×atan(5.69469029446562)-π/2
    2×1.39696643904527-π/2
    2.79393287809054-1.57079632675     		φ = 1.22313655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42635079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.428101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22313655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.080562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28321 KachelY 14624 -0.42635079 1.22313655 -24.428101 70.080562
    Oben rechts KachelX + 1 28322 KachelY 14624 -0.42625491 1.22313655 -24.422607 70.080562
    Unten links KachelX 28321 KachelY + 1 14625 -0.42635079 1.22310389 -24.428101 70.078691
    Unten rechts KachelX + 1 28322 KachelY + 1 14625 -0.42625491 1.22310389 -24.422607 70.078691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22313655-1.22310389) × R
    3.26600000000177e-05 × 6371000     		dl = 208.076860000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22313655-1.22310389) × R
    3.26600000000177e-05 × 6371000     		dr = 208.076860000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42635079--0.42625491) × cos(1.22313655) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.340698528676901 × 6371000     		do = 208.116200476092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42635079--0.42625491) × cos(1.22310389) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.340729234532213 × 6371000     		du = 208.134957193254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22313655)-sin(1.22310389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340698528676901-0.340729234532213)×R²
    abs(-0.42625491--0.42635079)×3.07058553122297e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.07058553122297e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.07058553122297e-05×40589641000000     		ar = 43306.1169337056m²