Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28318 / 22030
↖ ↑ ↗
← N 50.687758°
W 24.444580°		 ← 387 m → N 50.687758°
W 24.439087°		 →
↑
387.04 m
↓
↑
387.04 m
↓
N 50.684277°
W 24.444580°		 ← 387.03 m →
149 790 m²		 N 50.684277°
W 24.439087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432106018066406 y=0.336158752441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432106018066406 × 216)
    floor (0.432106018066406 × 65536)
    floor (28318.5)     		tx = 28318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336158752441406 × 216)
    floor (0.336158752441406 × 65536)
    floor (22030.5)     		ty = 22030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28318 / 22030 ti = "16/28318/22030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28318/22030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28318 ÷ 216
    28318 ÷ 65536     		x = 0.432098388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22030 ÷ 216
    22030 ÷ 65536     		y = 0.336151123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432098388671875 × 2 - 1) × π
    -0.13580322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42663841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336151123046875 × 2 - 1) × π
    0.32769775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02949285624033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42663841} λ = -0.42663841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02949285624033))-π/2
    2×atan(2.79964565178946)-π/2
    2×1.22773229723553-π/2
    2.45546459447106-1.57079632675     		φ = 0.88466827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42663841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.444580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88466827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.687758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28318 KachelY 22030 -0.42663841 0.88466827 -24.444580 50.687758
    Oben rechts KachelX + 1 28319 KachelY 22030 -0.42654253 0.88466827 -24.439087 50.687758
    Unten links KachelX 28318 KachelY + 1 22031 -0.42663841 0.88460752 -24.444580 50.684277
    Unten rechts KachelX + 1 28319 KachelY + 1 22031 -0.42654253 0.88460752 -24.439087 50.684277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88466827-0.88460752) × R
    6.07500000000538e-05 × 6371000     		dl = 387.038250000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88466827-0.88460752) × R
    6.07500000000538e-05 × 6371000     		dr = 387.038250000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42663841--0.42654253) × cos(0.88466827) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.633546197457282 × 6371000     		do = 387.002632365347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42663841--0.42654253) × cos(0.88460752) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.633593198858635 × 6371000     		du = 387.031343240926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88466827)-sin(0.88460752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633546197457282-0.633593198858635)×R²
    abs(-0.42654253--0.42663841)×4.70014013532749e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.70014013532749e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.70014013532749e-05×40589641000000     		ar = 149790.377725701m²