Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28314 / 7030
↖ ↑ ↗
← N 80.307180°
W 24.466553°		 ← 102.84 m → N 80.307180°
W 24.461060°		 →
↑
102.89 m
↓
↑
102.89 m
↓
N 80.306255°
W 24.466553°		 ← 102.85 m →
10 581 m²		 N 80.306255°
W 24.461060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432044982910156 y=0.107276916503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432044982910156 × 216)
    floor (0.432044982910156 × 65536)
    floor (28314.5)     		tx = 28314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107276916503906 × 216)
    floor (0.107276916503906 × 65536)
    floor (7030.5)     		ty = 7030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28314 / 7030 ti = "16/28314/7030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28314/7030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28314 ÷ 216
    28314 ÷ 65536     		x = 0.432037353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7030 ÷ 216
    7030 ÷ 65536     		y = 0.107269287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432037353515625 × 2 - 1) × π
    -0.13592529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42702190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107269287109375 × 2 - 1) × π
    0.78546142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46759984484201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42702190} λ = -0.42702190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46759984484201))-π/2
    2×atan(11.794105170677)-π/2
    2×1.48621051655712-π/2
    2.97242103311423-1.57079632675     		φ = 1.40162471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42702190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.466553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40162471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.307180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28314 KachelY 7030 -0.42702190 1.40162471 -24.466553 80.307180
    Oben rechts KachelX + 1 28315 KachelY 7030 -0.42692603 1.40162471 -24.461060 80.307180
    Unten links KachelX 28314 KachelY + 1 7031 -0.42702190 1.40160856 -24.466553 80.306255
    Unten rechts KachelX + 1 28315 KachelY + 1 7031 -0.42692603 1.40160856 -24.461060 80.306255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40162471-1.40160856) × R
    1.61500000002146e-05 × 6371000     		dl = 102.891650001367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40162471-1.40160856) × R
    1.61500000002146e-05 × 6371000     		dr = 102.891650001367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42702190--0.42692603) × cos(1.40162471) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168365849244213 × 6371000     		do = 102.835801604027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42702190--0.42692603) × cos(1.40160856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168381768674167 × 6371000     		du = 102.845524997148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40162471)-sin(1.40160856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168365849244213-0.168381768674167)×R²
    abs(-0.42692603--0.42702190)×1.59194299539367e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59194299539367e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59194299539367e-05×40589641000000     		ar = 10581.4455344426m²