Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28314 / 22074
↖ ↑ ↗
← N 50.534380°
W 24.466553°		 ← 388.23 m → N 50.534380°
W 24.461060°		 →
↑
388.25 m
↓
↑
388.25 m
↓
N 50.530889°
W 24.466553°		 ← 388.25 m →
150 734 m²		 N 50.530889°
W 24.461060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432044982910156 y=0.336830139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432044982910156 × 216)
    floor (0.432044982910156 × 65536)
    floor (28314.5)     		tx = 28314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336830139160156 × 216)
    floor (0.336830139160156 × 65536)
    floor (22074.5)     		ty = 22074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28314 / 22074 ti = "16/28314/22074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28314/22074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28314 ÷ 216
    28314 ÷ 65536     		x = 0.432037353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22074 ÷ 216
    22074 ÷ 65536     		y = 0.336822509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432037353515625 × 2 - 1) × π
    -0.13592529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42702190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336822509765625 × 2 - 1) × π
    0.32635498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02527440907376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42702190} λ = -0.42702190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02527440907376))-π/2
    2×atan(2.78786036979389)-π/2
    2×1.22639382515911-π/2
    2.45278765031821-1.57079632675     		φ = 0.88199132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42702190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.466553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88199132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.534380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28314 KachelY 22074 -0.42702190 0.88199132 -24.466553 50.534380
    Oben rechts KachelX + 1 28315 KachelY 22074 -0.42692603 0.88199132 -24.461060 50.534380
    Unten links KachelX 28314 KachelY + 1 22075 -0.42702190 0.88193038 -24.466553 50.530889
    Unten rechts KachelX + 1 28315 KachelY + 1 22075 -0.42692603 0.88193038 -24.461060 50.530889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88199132-0.88193038) × R
    6.09400000000093e-05 × 6371000     		dl = 388.248740000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88199132-0.88193038) × R
    6.09400000000093e-05 × 6371000     		dr = 388.248740000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42702190--0.42692603) × cos(0.88199132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635615094203651 × 6371000     		do = 388.22592596698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42702190--0.42692603) × cos(0.88193038) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635662139076445 × 6371000     		du = 388.254660399923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88199132)-sin(0.88193038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635615094203651-0.635662139076445)×R²
    abs(-0.42692603--0.42702190)×4.70448727937223e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70448727937223e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70448727937223e-05×40589641000000     		ar = 150733.804692049m²